ARGUMENT LICZBY ZESPOLONEJ - ZADANIA
Zadanie 8
Oblicz argument główny liczby zespolonej: \(\displaystyle z=4+i4\sqrt3\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle z=4+i4\sqrt3\)
\( z=a+ib\)
Liczba \(\displaystyle z=4+i4\sqrt3\) leży w pierwszej ćwiartce ponieważ \(a>0\,\,\, i\,\,\, b>0\)
Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle tg\, \varphi= \frac {b}{a}\) gdzie \(a=4\,\,\,b=4\sqrt3\)
\(\displaystyle tg\, \varphi= \frac {4\sqrt3}{4}=\sqrt3\)
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy \(\sqrt3=tg\frac{\pi}{3}\)
\(tg\, \varphi=tg\frac{\pi}{3}\)
Otrzymaliśmy równanie trygonometryczne. ( W tym miejscu wystarczy opuścić tangensy i otrzymamy argument główny liczby zespolonej, gdyż liczba \(\frac{\pi}{3}\) jest najmniejszym dodatnim rozwiązani tego równania, co sprawdzimy to poniżej).
Równanie \(tg\, \varphi=tg\frac{\pi}{3}\) jest typu \(tg\, \varphi=tg\,\alpha\) które rozwiązujemy opuszczając tangensy i stosując wzór: \(\varphi=\alpha+k\pi\) na serię rozwiązań dla tangensa.
\(\varphi=\frac{\pi}{3}+k\pi\) gdzie \(k\in \mathbb{Z}\)
Najmniejsze dodatnie rozwiązanie równania otrzymamy dla \(k=0\)
\(\varphi=\frac{\pi}{3}+0\cdot\pi=\frac{\pi}{3}\)
\(arg\,z= \frac{\pi}{3}\)
Ostatecznie otrzymaliśmy.
Odpowiedź
\(\displaystyle arg \, (4+i4\sqrt3)= \frac{\pi}{3}\)
