ARGUMENT LICZBY ZESPOLONEJ - ZADANIA
Zadanie 9
Oblicz argument główny liczby zespolonej: \(\displaystyle z=-2\sqrt3+i2\)
Rozwiązanie sposób 1
\(\displaystyle z=-2\sqrt3+i2\)
\( z=a+ib\)
Liczba \(\displaystyle z=-2\sqrt3+i2\) leży w drugiej ćwiartce ponieważ \(a< 0\,\,\, i\,\,\, b>0\)
Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle tg\, \varphi= \frac {b}{a}\) gdzie \(a=-2\sqrt3\,\,\,\,b=2\)
\(\displaystyle tg\, \varphi= \frac {2}{-2\sqrt3}=-\frac1{\sqrt3}=-\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}\)
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy \(\frac{\sqrt3}{3}=tg\frac{\pi}{6}\)
\(tg\, \varphi=-tg\frac{\pi}{6}\)
W równaniu pozbywamy się minusa stojącego po prawej stronie, stosując wzór: \(-tg\, \alpha=tg\,(\pi-\alpha)\).
\(\displaystyle-tg\, \frac{\pi}{6}=tg(\pi-\frac{\pi}{6})=tg\frac{5\pi}{6}\)
\(\displaystyle tg\, \varphi=tg\,\frac{5\pi}{6}\)
Teraz stosujemy wzór: \(\varphi=\alpha+k\pi\) na serię rozwiązań dla tangensa gdzie \(k\in \mathbb{Z}\).
\(\displaystyle\varphi=\frac{5\pi}{6}+k\cdot\pi\)
Szukamy najmniejszego dodatniego rozwiązania równania uzyskamy je dla \(k=0\)
\(\displaystyle\varphi=\frac{5\pi}{6}+0\cdot\pi=\frac{5\pi}{6}\)
\(\displaystyle arg\,z= \frac{5\pi}{6}\)
Ostatecznie otrzymaliśmy.
Rozwiązanie sposób 2
\(\displaystyle tg\, \varphi= \frac {2}{-2\sqrt3}=-\frac1{\sqrt3}=-\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}\)
Początek jak w sposobie 1
\(tg\, \varphi=-tg\frac{\pi}{6}\)
Tym razem pozbywamy sie minusa, stosując wzór: \(-tg\, \alpha=tg\,(-\alpha)\).
\(tg\, \varphi=tg\,(-\frac{\pi}{6})\)
Stosujemy wzór: \(\varphi=\alpha+k\pi\) na serię rozwiązań dla tangensa gdzie \(k\in \mathbb{Z}\).
\(\displaystyle\varphi=-\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi\)
Szukamy najmniejszego dodatniego rozwiązania równania, uzyskamy je dla \(k=1\)
\(\displaystyle\varphi=-\frac{\pi}{6}+1\cdot\pi=-\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{5\pi}{6}\)
Odpowiedź
\(\displaystyle arg \, (-2\sqrt3+i2)= \frac{5\pi}{6}\)
