PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH - ZADANIA

W naszym przypadku  \(z=-2+i2\) , gdzie  \(z+a+ib\) oraz \(n=3\)

Moduł
\(|z|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}\)

Argumentem   \(\displaystyle \varphi\)
\(\arg\,(-2+i2)\Rightarrow\varphi={\frac{3\pi}{4}}\) licza zespolona \(z\) leży na prostej \(y=-x\) która nachylona jest pod kątem \(\frac{3\pi}{4}\) do osi \(OX\)

Dla  \(z=-2+i2\)  mamy  \(|z|=\sqrt8\)  oraz  \(\arg\,(z)={\frac{3\pi}{4}}\) zatem:

\( \sqrt [3]{-2+i2}=\{\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{\frac{3\pi}{4}+2k\pi}{3}+i\,\sin\frac{\frac{3\pi}{4}+2k\pi}{3}\right)\)   :   \(k=0,1,2\}\)

dla \(k=0\)   kąt wynosi:   \( \frac{\frac{3\pi}{4}}{3}=\frac{3\pi}{4\cdot3}=\frac{\pi}{4}\)

\( z_0=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\right)=\)\(2\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2+i\sqrt2\)
Z tablic odczytujemy rozwiązanie

dla \(k=1\)   kąt wynosi:   \( \frac{\frac{3\pi}{4}+2\pi}{3}=\frac{\frac{11\pi}{4}}{3}=\frac{11\pi}{12}\)

\( z_1=2\left(\cos\frac{11\pi}{12}+i\,\sin\frac{11\pi}{12}\right)=\) \(2\left(-\cos\frac{\pi}{12}+i\,\sin\frac{\pi}{12}\right)=\)\(2\left(-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}+i\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)=\)\(-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}\)

\( \cos\frac{11\pi}{12}=\cos\left (\frac{12\pi}{12}-\frac{11\pi}{12}\right )=-\cos\frac{\pi}{12}\)

\( \sin\frac{11\pi}{12}=\sin\left (\frac{12\pi}{12}-\frac{11\pi}{12}\right )=\sin\frac{\pi}{12}\)

dla \(k=2\)   kąt wynosi:   \( \frac{\frac{3\pi}{4}+4\pi}{3}=\frac{\frac{19\pi}{4}}{3}=\frac{19\pi}{12}\)

\( z_2=2\left(\cos\frac{19\pi}{12}+i\,\sin\frac{19\pi}{12}\right)=\) \(2\left(\cos\frac{5\pi}{12}-i\,\sin\frac{5\pi}{12}\right)=\)\(2\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}-i\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\right)=\)\(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\)

\( \cos\frac{19\pi}{12}=\cos\left (\frac{24\pi}{12}-\frac{19\pi}{12}\right )=\cos\frac{5\pi}{12}\)

\( \sin\frac{11\pi}{12}=\sin\left (\frac{24\pi}{12}-\frac{19\pi}{12}\right )=-\sin\frac{5\pi}{12}\)

Interpretacja geometryczna