POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ - ZADANIA

Najpierw obliczamy moduł liczby zespolonej stosując wzór \( \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\( \left | z \right |=\sqrt{(-\frac14)^{2}+(\frac{\sqrt3}4)^{2}}=\sqrt{\frac1{16}+\frac3{16}}=\sqrt{\frac4{16}}=\frac12\)

Teraz obliczamy argument liczby zespolonej stosując wzór \(tg\varphi=\frac{b}{a}\).
\(tg\varphi=\frac{\sqrt3}4:-\frac14=\frac{\sqrt3}4\cdot-\frac41=-\sqrt3\).
Z wartości funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(\sqrt3=tg\,\frac{\pi}{3} \)
\(tg\,\varphi=-tg\,\frac{\pi}{3} \)
Pozbywamy się minusa stojącego po prawej stronie, stosując wzór \(-tg\, \alpha=tg\,(\pi-\alpha)\)
\(\displaystyle-tg\, \frac{\pi}{3}=tg(\pi-\frac{\pi}{3})=tg\frac{2\pi}{3}\)
Otrzymaliśmy zatem
\(\displaystyle tg\, \varphi=tg\,\frac{2\pi}{3}\)
Opuszczając tangensy otrzymujemy argument główny liczby zespolonej.
\(\displaystyle \varphi=\frac{2\pi}{3}\)

Obliczony moduł \( \left | z \right |=\frac12\) i argument \( \varphi=\frac{2\pi}{3}\) wstawiamy do wzoru na postać trygonometryczną liczby zespolonej \( z=\left | z \right |(\cos \varphi+i\sin\varphi)\)
\(\displaystyle z=-\frac14+i\frac{\sqrt3}4=\frac12 (\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})\)