POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Twierdzenie (Postać trygonometryczna liczby zespolonej)
Liczbę zespoloną \(z=(a+ib)\) możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej:
\[\large\displaystyle z=\left | z \right |(\cos \varphi+i\sin\varphi)\]
gdzie:
\( \left | z \right | \) - moduł liczby zespolonej
\(\varphi\) - argument liczby zespolonej
Dowód
\(\displaystyle z=a+ib=\left | z \right |\left( \frac{a}{\left | z \right |}+i\frac{b}{\left | z \right |}\right)=\)
\(\displaystyle\left | z \right |(\cos \varphi+i\sin\varphi)\)
Twierdzenie (Mnożenie i dzielenie liczby zespolonych w postaci trygonometrycznej)
Niech dane będą liczby zespolone w postaci trygonometrycznej \(\left | z_1 \right |(\cos \varphi_1+i\sin\varphi_1)\) oraz \(\left | z_2 \right |(\cos \varphi_2+i\sin\varphi_2)\) wówczas:
\[\displaystyle z_1 \cdot z_2=\left|z_1\right|\cdot\left|z_2\right| \left[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right]\]
\[\displaystyle\frac{z_1}{z_2}=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|} \left[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right]\]
przy dzieleniu \( z_2 \neq 0\)
Widać, że mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej jest stosunkowo proste.
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ - ZADANIA
Zadanie 1
Podaną liczbę zapisz w postaci trygonometrycznej \(z=1+i\)
Rozwiązanie
Zadanie 2
Podaną liczbę zapisz w postaci trygonometrycznej \(z=-\frac14+i\frac{\sqrt3}4\)
Rozwiązanie
Zadanie 3
Podaną liczbę zapisz w postaci trygonometrycznej \(z=-3+i3\)
Rozwiązanie
Zadanie 4
Podaną liczbę zapisz w postaci trygonometrycznej \(z=-\frac{\sqrt3}2-i\frac{1}2\)
Rozwiązanie
Zadanie 5
Podaną liczbę zapisz w postaci trygonometrycznej \(z=2\)
Rozwiązanie
Zadanie 6
Podaną liczbę zapisz w postaci trygonometrycznej \(z=i\)
Rozwiązanie
Zadanie 7
Podaną liczbę zapisz w postaci trygonometrycznej \(z=-3\)
Rozwiązanie
Zadanie 8
Podaną liczbę zapisz w postaci trygonometrycznej \(z=-10i\)
Rozwiązanie
