POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ - ZADANIA
Zadanie 4
Podaną liczbę zapisz w postaci trygonometrycznej \(z=\frac{\sqrt3}2-i\frac{1}2\)
Liczba \(z=\frac{\sqrt3}2-i\frac{1}2\) posiada współczynnik \(a=\frac{\sqrt3}2\,,\,b=-\frac{1}2\)
Najpierw obliczamy moduł liczby zespolonej stosując wzór \( \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\( \left | z \right |=\sqrt{(\frac{\sqrt3}2)^{2}+(-\frac{1}2)^{2}}=\sqrt{\frac3{4}+\frac1{4}}=\sqrt{\frac4{4}}=1\)
Teraz obliczamy argument liczby zespolonej stosując wzorów: \(cos\varphi =\large\frac{a}{\left | z \right |}\) \(sin\varphi =\large\frac{b}{\left | z \right |}\)
\(cos\varphi =\large\frac{\sqrt3}{2}\)
\(sin\varphi =\large-\frac{1}{2}\)
Na podstawie otrzymanych wartości funkcji sinus i cosinus odczytujemy z : tabela argumentów liczb zespolonych
\(\displaystyle\varphi =\frac{11\pi}{6}\)
Obliczony moduł \( \left | z \right |=1\) i argument \( \varphi=\frac{11\pi}{6}\) wstawiamy do wzoru na postać trygonometryczną liczby zespolonej \( z=\left | z \right |(\cos \varphi+i\sin\varphi)\)
\(\displaystyle z=\frac{\sqrt3}2-i\frac{1}2=1 (\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6})\)
Odpowiedź
\(\displaystyle \frac{\sqrt3}2-i\frac{1}2=1 (\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6})\)
