LOGARYTMY NAJWAŻNIEJSZE WZORY - DOWODY
Zadanie 5
Udowodnij wzór na dodawanie logarytmów o tej samiej podstawie \(\displaystyle \log_ax + \log_ay=\log_a (x\cdot y)\)
Rozwiązanie
Kożystamy z twierdzenia 3 o logarytmach przedstawiamy liczby \(x\,\,i\,\,y\) w postaci;
\(\displaystyle x=a^{\log_ax}\) \(\displaystyle y=a^{\log_ay}\)
Mnożąć stronami te wzory otrzymamy
\(x\cdot y=a^{\log_ax}\cdot a^{\log_ay}\)
Kożystamy ze wzoru \(a^n \cdot a^m=a^{n+ m}\)
\(x\cdot y=a^{\log_ax+\log_ay}\)
Odwołująć się do definicji logarytmu \(\log_ab=c\Leftrightarrow a^c=b\) gdzie: \( a=a \, ,\, b=(x\cdot y) \,,\, c=\log_ax + \log_ay\) otrzymujemy:
\(\displaystyle \log_ax + \log_ay=\log_a (x\cdot y)\)
Co kończy dowód.
