LOGARYTMY NAJWAŻNIEJSZE WZORY
Twierdzenia (Działania na logarytmach)
Jeżeli \(a>0\;\;i\;\;a\neq 1\) oraz \(b>0\,\, i\,\, c>0\) to:
1. Dodawani i odejmowanie logarytmów o tej samiej podstawie
Twierdzenie 1A)
\(\displaystyle\large \log_ab + \log_ac=\log_a (b\cdot c)\)
Twierdzenie 1B)
\(\displaystyle\large \log_ab - \log_ac=\log_a \left(\frac bc\right )\)
2. Wyciąganie wykładnika potęgi i wykładnika podstawy przed logarytm
Twierdzenie 2A) gdzie: \(n \in \mathbb{R}\)
\(\displaystyle\large \log_ab^n= n\cdot\log_ab \)
Twierdzenie 2B) gdzie: \(n \in \mathbb{R} \backslash{0}\)
\(\displaystyle\large \log_{a^n}b= \frac1n\cdot\log_ab \)
3. Logarytm w wykładniku potęgi
Twierdzenie 3A)
\(\displaystyle\large a^{\log_ab}=b\)
Twierdzenie 3B)
\(\displaystyle\large b^{\log_ac}=c^{\log_ab}\)
4. Zamiana podstawy logarytmu
Twierdzenie A) gdzie: \(b\neq1\)
\(\displaystyle\large \log_ab=\frac{1}{\log_ba}\)
Twierdzenie B) gdzie: \(c\neq1\)
\(\displaystyle\large \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\)
Poniżej zamieszczono proste przykłady zastosowań powyższych twierdzeń w zadaniach.
Przykłady wzór 1A i 2B
\[ \log_2 6+\log_2 \frac43=\log_2 (6\cdot\frac43)=\log_28=3 \]
\[\displaystyle \log_3 27-\log_2 3=\log_3 \left(\frac{27}3\right)=\log_39=2 \]
Przykłady wzór 2A i 2B
\[\displaystyle \log_5 25^6-6\cdot\log_5 25=6\cdot2=12 \]
\[\displaystyle \log_{2^2} 32=\frac12\cdot\log_232=\frac12\cdot5=2,5 \]
Przykład wzór 3A i 3B
\[ \displaystyle\large 8^{\log_85}=5\]
\[ \displaystyle\large 8^{\log_85}=5^{\log_88}=5^1=5\]
Przykłady wzór 4A i 4B
\[ \displaystyle \log_{25}5=\frac{1}{\log_525}=\frac12\]
\[ \displaystyle \log_{81}{27}=\frac{\log_327}{\log_381}=\frac34\]
Własności (Logarytmów)
Jeżeli \(a>0\;\;i\;\;a\neq 1\) to:
1. Logarytm z jeden o dowolnej podstawie
\(\displaystyle\large \log_a 1= 0\)
2. Logarytm z liczby o tej samej liczbie co podstawa
\(\displaystyle\large \log_a a= 1\)
3. Logarytm z potęgi liczby \(a\) przy podstawie \(a\) gdzie: \(b \in \mathbb{R}\)
\(\displaystyle\large \log_a a^b= b\)
LOGARYTMY NAJWAŻNIEJSZE WZORY - DOWODY
Zadanie 4
Udowodnij, że:\(\displaystyle a^{\log_ab}=b\)
Rozwiązanie
Zadanie 5
Udowodnij, że: \(\displaystyle \log_ax + \log_ay=\log_a (x\cdot y)\)
Rozwiązanie
Zadanie 6
Udowodnij, że: \(\displaystyle \log_ab - \log_ac=\log_a \left(\frac bc\right )\)
Rozwiązanie
Zadanie 7
Udowodnij wzór na wyciąganie wykładnika potęgi przed logarytm: \(\displaystyle \log_ab^n= n\cdot\log_ab \)
Rozwiązanie
