LOGARYTMY NAJWAŻNIEJSZE WZORY - DOWODY
Zadanie 6
Udowodnij wzór na odejmowanie logarytmów o tej samiej podstawie \(\displaystyle \log_ab - \log_ac=\log_a \left(\frac bc\right )\)
Rozwiązanie
Kożystamy z twierdzenia 4 o logarytmach przedstawiamy liczby \(x\,\,i\,\,y\) w postaci;
\(\displaystyle x=a^{\log_ax}\) \(\displaystyle y=a^{\log_ay}\)
Dzieląc stronami te wzory otrzymamy
\(\displaystyle\frac xy=\frac{a^{\log_ax}}{a^{\log_ay}}\)
Kożystamy ze wzoru \(\frac {a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
\(\displaystyle\frac xy=a^{\log_ax-\log_ay}\)
Odwołująć się do definicji logarytmu \(\log_ab=c\Leftrightarrow a^c=b\) gdzie: \( a=a \, ,\, b=(\frac xy) \,,\, c=\log_ax - \log_ay\) otrzymujemy:
\(\displaystyle \log_ax - \log_ay=\log_a \left(\frac xy\right )\)
Co kończy dowód.
