ZMAIANA PODSTAWY LOGARYTMU - ZADANIA
Zadanie 3
Oblicz korzystając z twierdzenia o zamianie podstawy logarytmu \(\log_{\sqrt3}{8}\cdot\log_4{81}\)
Rozwiązanie
\(\log_{\sqrt3}{8}\cdot\log_4{81}\)
\(\displaystyle 8=2^{3} \,\,\,\,\, 81=(\sqrt{3})^8\)
\(\log_{\sqrt3}{2^3}\cdot\log_4{(\sqrt{3})^8}\)
Korzystamy ze wzoru: \(\displaystyle \log_a x^m= m\cdot\log_a x\)
\(3\log_{\sqrt3}{2}\cdot8\log_4{(\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle 24\cdot\log_{\sqrt3}{2}\cdot\log_4{(\sqrt{3})}\)
Korzystamy ze wzoru: \(\log_ab=\frac1{\log_ba}\)
\(\displaystyle 24\cdot\log_{\sqrt3}{2}\cdot\frac1{\log_{\sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle 24\cdot\log_{\sqrt3}{2}\cdot\frac1{\log_{\sqrt{3}}{2^2}}\)
\(\displaystyle 24\cdot\log_{\sqrt3}{2}\cdot\frac1{2\log_{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle \frac{24}2\cdot\log_{\sqrt3}{2}\cdot\frac1{\log_{\sqrt{3}}{2}}=12\)
Logarytmy się skracają
Odpowiedź
\(\log_{\sqrt3}{8}\cdot\log_4{81}=12\)
