Definicja (Funkcja zdaniowa)
Funkcja zdaniowa (forma zdaniowa) nazywamy wyrażenie (zdanie) zawierającą zmienną, które po podstawieniu stałej w miejsce zmiennej przekształca się w zdanie prawdziwe lub fałszywe.
FUNKCJA ZDANIOWA
Przykład 1
Zdanie (równanie)
\(x+7=9\)
Taka wypowiedź nie ma oceny ani prawdy ani fałszu, ale gdy w wyrażeniu za x podstawimy liczbę 2 to otrzymamy zdanie prawdziwe, natomiast gdy podstawimy jakąś inną liczbę niż 2 to otrzymamy zdanie fałszywe.
Z funkcjami zdaniowymi związane są zbiory.
Definicja (Dziedzina funkcji zdaniowej)
Dziedzina funkcji zdaniowej - zbiór z którego czerpiemy elementy, które podstawiamy za zmienną w funkcji zdaniowej.
Definicja (Zbiór spełnienia)
Zbiór spełnienia - element (elementy) dziedziny funkcji zdaniowej, który po podstawieniu za zmienną w funkcji zdaniowej zmienia to zdanie na zdanie prawdziwe.
Mówimy, że elementy te spełniają funkcją zdaniową.
Przykład 2
Zdanie
\(x\,\, jest\,\, liczbą\,\, pierwszą\)
Takie wyrażenie jest formą zdaniową
Dziedziną tej formy może być np. zbiór liczb naturalnych. \(\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13... \right \}\)
Zbiorem spełnienia jest oczywiście zbiór liczb pierwszych. \(\left \{ 2,3,5,7,11,13,... \right \}\)
Zdania logiczne oznaczmy symbolami : \(p,\,q,\,r...\)
Funkcje zdaniowe ze zmienną \(x\) oznaczamy symbolami : \(p(x),\,q(x),\,r(x)...\)
Dziedzinę ( przestrzeń ) funkcji zdaniowej \(p(x)\) oznaczamy symbolem \(X\)
Zbiór spełnienia funkcji zdaniowej \(p(x)\) oznaczamy przez \(\left \{ x\in X:p(x) \right \}\) czytamy: zbiór \(x\)-ów należących do \(X\) takich że, zachodzi \(p(x)\)
Funkcje zdaniowe ze zmienną \(x\) oznaczamy symbolami : \(p(x),\,q(x),\,r(x)...\)
Dziedzinę ( przestrzeń ) funkcji zdaniowej \(p(x)\) oznaczamy symbolem \(X\)
Zbiór spełnienia funkcji zdaniowej \(p(x)\) oznaczamy przez \(\left \{ x\in X:p(x) \right \}\) czytamy: zbiór \(x\)-ów należących do \(X\) takich że, zachodzi \(p(x)\)
W matematyce na każdym kroku mamy do czynienia z funkcjami zdaniowymi.
Każde równanie jest formą zdaniową np
\(2x+2 = -x-5\)
\(x^2-1 = 0\)
Każda nierówność jest forma zdaniową np
\(|x-2|>6\)
\(x^2+5>20x\)
Również wypowiedzi typu :
"\(x\,dzieli\, 24\)"
"\(x\, jest\,wielokrotnością\,5-ciu\)"
są funkcjami zdaniowymi.
Powyżej była mowa o funkcjach zdaniowych z jedną niewiadomą,
ale rozpatruje się formy zdaniowe z dwoma lub większą liczbą zmiennych. Na przykład:
\(x+y=4\)
\(x-y>3\)
\(x^2+y-3z^3=2t\)
\(x-y>3\)
\(x^2+y-3z^3=2t\)