PRACA - ZADANIA
Zadanie 3
Blok lodu waży \(m = 50\,[kg]\) i ześlizguje się po równi pochyłej o długości \(L = 1,5\,[m]\) i wysokości \(h = 0,9\,[m]\). Współczynnik tarcia wynosi \(\mu = 0,1\). Mężczyzna pcha lód siłą równoległą do równi tak, że prędkość ześlizgiwania jest stała.Oblicz: a) Siłę wywierana przez mężczyznę, b) Pracę mężczyzny, c) Pracę siły grawitacji, d) Pracę siły reakcji powierzchni, e) Pracę siły tarcia, f) Pracę wypadkowa, g) Zmianę energii kinetycznej.
Dane:
- \(m = 50\,[kg]\)
- \(L = 1,5\,[m]\)
- \(h = 0,9\,[m]\)
- \(\mu = 0,1\)
- \(v = \text{const}\) (prędkość stała)
- \(g \approx 10\,[m/s^2]\)
Analiza wstępna (Geometria równi)
Wyznaczamy funkcje trygonometryczne kąta nachylenia \(\alpha\):\(\sin(\alpha) = \frac{h}{L} = \frac{0,9}{1,5} = 0,6\)
\(\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0,6^2} = 0,8\)
a) Siła wywierana przez mężczyznę (\(F_m\))
Wyznaczamy siłę zsuwającą (składową ciężkości działającą wzdłuż równi):\(F_s = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = 50 \cdot 10 \cdot 0,6 = 300\,[N]\)
Siła tarcia (działa przeciwnie do kierunku ruchu):
\(T = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = 0,1 \cdot 50 \cdot 10 \cdot 0,8 = 40\,[N]\)
Z warunku stałej prędkości (siły działające w dół równi są równoważone przez siłę mężczyzny działającą w górę):
\(F_m + T = F_g \implies F_m = F_g - T\)
\(F_m = 300\,[N] - 40\,[N] = 260\,[N]\)
b) Praca mężczyzny (\(W_m\))
Mężczyzna pcha lód w górę równi, a lód przesuwa się w dół. Kąt między siłą a przesunięciem wynosi \(180^\circ\):\(W_m = F_m \cdot L \cdot \cos(180^\circ) = 260 \cdot 1,5 \cdot (-1) = -390\,[J]\)
c) Praca siły grawitacji (\(W_g\))
Grawitacja wykonuje pracę nad obniżeniem bloku:\(W_g = m \cdot g \cdot h = 50 \cdot 10 \cdot 0,9 = 450\,[J]\)
d) Praca siły reakcji powierzchni (\(W_N\)) oraz e) tarcia (\(W_T\))
Siła reakcji \(N\) jest prostopadła do ruchu, więc \(W_N = 0\,[J]\).Praca tarcia (zawsze przeciwna do ruchu):
\(W_T = T \cdot L \cdot \cos(180^\circ) = 40 \cdot 1,5 \cdot (-1) = -60\,[J]\)
f) Praca wypadkowa (\(W_{wy}\)) oraz g) Zmiana energii kinetycznej (\(\Delta E_k\))
Suma wszystkich prac:\(W_{wy} = W_m + W_g + W_T = -390 + 450 - 60 = 0\,[J]\)
Z twierdzenia o pracy i energii:
\(\Delta E_k = W_{wy} = 0\,[J]\)
Wynik jest spójny z założeniem o stałej prędkości (\(v = const \implies \Delta E_k = 0\)).
Podsumowanie wyników
a) \(F_m = 260\,[N]\), b) \(W_m = -390\,[J]\), c) \(W_g = 450\,[J]\),
d) \(W_N = 0\,[J], e) W_T = -60\,[J]\), f) \(W_{wy} = 0\,[J]\), g) \(\Delta E_k = 0\,[J]\).