PRACA - ZADANIA
Zadanie 4
Punkt materialny przesuwa się wzdłuż osi \(OX\) od punktu \(x_1 = 1\,[m]\) do punktu \(x_2 = 3\,[m]\). Działa na niego siła zmienna o wartości opisanej funkcją \(F(x) = 3x^2 + 2x\) \([N]\). Oblicz pracę wykonaną przez tę siłę.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na pracę siły zmiennej w ruchu jednowymiarowym (1D):\(W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx\)
Podstawiamy granice całkowania oraz wzór funkcji siły:
\(W = \int_{1}^{3} (3x^2 + 2x) \, dx\)
Stosujemy podstawowy wzór na całkę funkcji potęgowej:
\[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]
Obliczamy całkę oznaczoną (stała \(C\) znosi się przy odejmowaniu granic):
\(W = \left[ 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} \right]_1^3 = \left[ x^3 + x^2 \right]_1^3\)
\[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]
Obliczamy całkę oznaczoną (stała \(C\) znosi się przy odejmowaniu granic):
\(W = \left[ 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} \right]_1^3 = \left[ x^3 + x^2 \right]_1^3\)
Korzystamy ze wzoru Newtona-Leibniza, podstawiając granice górną i dolną:
\(W = (3^3 + 3^2) - (1^3 + 1^2)\)
\(W = (27 + 9) - (1 + 1) = 36 - 2 = 34 \, [J]\)
\(W = (3^3 + 3^2) - (1^3 + 1^2)\)
\(W = (27 + 9) - (1 + 1) = 36 - 2 = 34 \, [J]\)
Odpowiedź
Praca wykonana przez siłę zmienną na odcinku od 1 do 3 metrów wynosi \(W = 34 \, [J]\).