PRACA - ZADANIA
Zadanie 5
Oblicz pracę wykonaną przez siłę stałą \(\vec{F} = [5, 0] \, [N]\) przy przesunięciu punktu materialnego wzdłuż osi \(OX\) od punktu \(x_0 = 0 \, [m]\) do punktu \(x = 5 \, [m]\). Wykorzystaj aparat całki krzywoliniowej.
Rozwiązanie
Krok 1: Wykonujemy parametryzację drogi wzdłuż osi \(OX\). Korzystamy ze schematu \(x=t, y=f(t)\), gdzie tutaj \(f(t)=0\):\(x(t) = t\)
\(y(t) = 0\)
Wyznaczamy zakres parametru \(t\) na podstawie granic ruchu na osi \(OX\):
\(t \in [0, 5]\)
Krok 2: Wyznaczamy różniczki współrzędnych, różniczkując funkcje \(x(t)\) i \(y(t)\):
\(dx = x'(t)dt = 1 \cdot dt\)
\(dy = y'(t)dt = 0 \cdot dt\)
\(dx = x'(t)dt = 1 \cdot dt\)
\(dy = y'(t)dt = 0 \cdot dt\)
Krok 3: Stosujemy wzór operacyjny na pracę jako całkę krzywoliniową zamienioną na oznaczoną:
\(W = \int_{t_1}^{t_2} (F_x \cdot x'(t) + F_y \cdot y'(t)) \, dt\)
Podstawiamy dane: \(F_x = 5, F_y = 0\) oraz wyliczone pochodne:
\(W = \int_{0}^{5} (5 \cdot 1 + 0 \cdot 0) \, dt = \int_{0}^{5} 5 \, dt\)
\(W = \int_{t_1}^{t_2} (F_x \cdot x'(t) + F_y \cdot y'(t)) \, dt\)
Podstawiamy dane: \(F_x = 5, F_y = 0\) oraz wyliczone pochodne:
\(W = \int_{0}^{5} (5 \cdot 1 + 0 \cdot 0) \, dt = \int_{0}^{5} 5 \, dt\)
Krok 4: Obliczamy całkę oznaczoną, korzystając ze wzoru na całkę ze stałej \(\int k \, dt = kt\):
\(W = [5t]_0^5 = 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 = 25 \, [J]\)
\(W = [5t]_0^5 = 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 = 25 \, [J]\)
Odpowiedź
Praca wykonana przez siłę na drodze 5 metrów wynosi \(W = 25 \, [J]\).