PRACA - ZADANIA
Zadanie 6
Oblicz pracę siły \(\vec{F} = [5, 0] \, [N]\) na drodze od punktu \(A(0, 0)\) do punktu \(B(5, 0)\), stosując wektorową parametryzację odcinka.
Rozwiązanie
Krok 1: Korzystamy z uniwersalnej parametryzacji odcinka między punktami \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\):\(x(t) = x_1 + (x_2 - x_1)t = 0 + (5 - 0)t = 5t\)
\(y(t) = y_1 + (y_2 - y_1)t = 0 + (0 - 0)t = 0\)
Dla tej metody granice parametru są zawsze stałe:
\(t \in [0, 1]\)
Krok 2: Wyznaczamy różniczki \(dx\) oraz \(dy\) (pochodne po czasie pomnożone przez \(dt\)):
\(dx = (x_2 - x_1)dt = 5dt\)
\(dy = (y_2 - y_1)dt = 0dt\)
\(dx = (x_2 - x_1)dt = 5dt\)
\(dy = (y_2 - y_1)dt = 0dt\)
Krok 3: Podstawiamy dane do wzoru operacyjnego na pracę:
\(W = \int_{0}^{1} (F_x \cdot x'(t) + F_y \cdot y'(t)) \, dt\)
Podstawiamy nasze wartości (\(F_x=5, F_y=0, x'(t)=5, y'(t)=0\)):
\(W = \int_{0}^{1} (5 \cdot 5 + 0 \cdot 0) \, dt = \int_{0}^{1} 25 \, dt\)
\(W = \int_{0}^{1} (F_x \cdot x'(t) + F_y \cdot y'(t)) \, dt\)
Podstawiamy nasze wartości (\(F_x=5, F_y=0, x'(t)=5, y'(t)=0\)):
\(W = \int_{0}^{1} (5 \cdot 5 + 0 \cdot 0) \, dt = \int_{0}^{1} 25 \, dt\)
Krok 4: Obliczamy całkę oznaczoną w granicach od 0 do 1:
\(W = [25t]_0^1 = 25 \cdot 1 - 25 \cdot 0 = 25 \, [J]\)
\(W = [25t]_0^1 = 25 \cdot 1 - 25 \cdot 0 = 25 \, [J]\)
Odpowiedź
Praca obliczona metodą wektorową wynosi \(W = 25 \, [J]\). Wynik jest zgodny z poprzednimi metodami.