PRACA - ZADANIA
Zadanie 7
Oblicz pracę wykonaną przez siłę zmienną \(\vec{F} = [2x, \,\, y] \, [N]\) przy przemieszczeniu punktu materialnego po odcinku od punktu \(A(0, 0)\) do punktu \(B(2, 2)\). Do parametryzacji drogi wykorzystaj "bezpieczny wzór wektorowy".
Rozwiązanie
Krok 1: Wykonujemy parametryzację odcinka \(AB\) przy użyciu wzoru wektorowego:\(x(t) = x_1 + (x_2 - x_1)t = 0 + (2 - 0)t = 2t\)
\(y(t) = y_1 + (y_2 - y_1)t = 0 + (2 - 0)t = 2t\)
Dla tej metody granice parametru to zawsze:
\(t \in [0, 1]\)
Krok 2: Wyznaczamy różniczki współrzędnych \(dx\) oraz \(dy\):
\(dx = 2dt\)
\(dy = 2dt\)
\(dx = 2dt\)
\(dy = 2dt\)
Krok 3: Podstawiamy parametryzację do wzoru siły \(\vec{F} = [2x, \,\, y]\):
\(F_x = 2x = 2(2t) = 4t\)
\(F_y = y = 2t\)
\(F_x = 2x = 2(2t) = 4t\)
\(F_y = y = 2t\)
Krok 4: Składamy wszystko w całkę po parametrze \(t\) od 0 do 1:
\(W = \int_{0}^{1} (F_x \cdot x'(t) + F_y \cdot y'(t)) \, dt\)
\(W = \int_{0}^{1} (4t \cdot 2 + 2t \cdot 2) \, dt = \int_{0}^{1} (8t + 4t) \, dt = \int_{0}^{1} 12t \, dt\)
\(W = \int_{0}^{1} (F_x \cdot x'(t) + F_y \cdot y'(t)) \, dt\)
\(W = \int_{0}^{1} (4t \cdot 2 + 2t \cdot 2) \, dt = \int_{0}^{1} (8t + 4t) \, dt = \int_{0}^{1} 12t \, dt\)
Krok 5: Obliczamy całkę, korzystając ze wzoru na całkę potęgową \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\):
\(W = \left[ 12 \cdot \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = [6t^2]_0^1\)
\(W = 6(1)^2 - 6(0)^2 = 6 \, [J]\)
\(W = \left[ 12 \cdot \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = [6t^2]_0^1\)
\(W = 6(1)^2 - 6(0)^2 = 6 \, [J]\)
Odpowiedź
Praca wykonana przez siłę zmienną na odcinku od A do B wynosi \(W = 6 \, [J]\).