PRACA - ZADANIA
Zadanie 8
Oblicz pracę wykonaną przez siłę \(\vec{F} = [y, 2]\) przy przesunięciu punktu materialnego od punktu \(A(0, 0)\) do punktu \(B(2, 4)\) wzdłuż paraboli o równaniu \(y = x^2\).
Rozwiązanie
Krok 1: Korzystamy z parametryzacji wykresu funkcji \(y = f(x)\), gdzie \(x=t, y=f(t)\):\(x(t) = t\)
\(y(t) = t^2\)
Wyznaczamy zakres parametru \(t\) na podstawie punktów \(A(0,0)\) i \(B(2,4)\):
\(t \in [0, 2]\)
Krok 2: Obliczamy różniczki współrzędnych (pochodne po parametrze \(t\)):
\(dx = x'(t)dt = 1 \cdot dt\)
\(dy = y'(t)dt = 2t \cdot dt\)
\(dx = x'(t)dt = 1 \cdot dt\)
\(dy = y'(t)dt = 2t \cdot dt\)
Krok 3: Zapisujemy składowe siły \(\vec{F} = [F_x, F_y]\) w zależności od parametru \(t\):
\(F_x = y = t^2\)
\(F_y = 2\)
\(F_x = y = t^2\)
\(F_y = 2\)
Krok 4: Podstawiamy wszystko do wzoru na pracę i obliczamy całkę oznaczoną:
\(W = \int_{0}^{2} (F_x \cdot x'(t) + F_y \cdot y'(t)) dt\)
\(W = \int_{0}^{2} (t^2 \cdot 1 + 2 \cdot 2t) dt = \int_{0}^{2} (t^2 + 4t) dt\)
\(W = \left[ \frac{1}{3}t^3 + 2t^2 \right]_0^2\)
\(W = (\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4) - 0 = \frac{8}{3} + 8 = \frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{32}{3}\)
\(W = \int_{0}^{2} (F_x \cdot x'(t) + F_y \cdot y'(t)) dt\)
\(W = \int_{0}^{2} (t^2 \cdot 1 + 2 \cdot 2t) dt = \int_{0}^{2} (t^2 + 4t) dt\)
\(W = \left[ \frac{1}{3}t^3 + 2t^2 \right]_0^2\)
\(W = (\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4) - 0 = \frac{8}{3} + 8 = \frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{32}{3}\)
Odpowiedź
Praca wykonana przez siłę \(\vec{F}\) na podanej drodze wynosi \(W = \frac{32}{3} \, J\).