PRAWDOPODOBIEŃSTWO KLASYCZNE - ZADANIA
Zadanie 5 (Wersja I)
W urnie znajduje się 6 kul białych i 4 kule zielone. Losujemy jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że:
- A - wylosowane kule są różnych kolorów,
- B - obie kule są białe,
- C - obie kule są zielone,
- D - obie kule są tego samego koloru.
Krok 1: Obliczamy moc zbioru \( \Omega \)
W urnie mamy łącznie 10 kul. Losujemy 2 kule jednocześnie (kolejność nie ma znaczenia):\( |\Omega| = \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} = 45 \)
Zdarzenie A (Różne kolory)
Wybieramy 1 białą z 6 ORAZ 1 zieloną z 4:
\( |A| = \binom{6}{1} \cdot \binom{4}{1} = 6 \cdot 4 = 24 \)
\( P(A) = \frac{24}{45} = \mathbf{\frac{8}{15}} \)
Wybieramy 1 białą z 6 ORAZ 1 zieloną z 4:
\( |A| = \binom{6}{1} \cdot \binom{4}{1} = 6 \cdot 4 = 24 \)
\( P(A) = \frac{24}{45} = \mathbf{\frac{8}{15}} \)
Zdarzenie B (Obie białe)
Wybieramy 2 kule z 6 dostępnych białych:
\( |B| = \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} = 15 \)
\( P(B) = \frac{15}{45} = \mathbf{\frac{1}{3}} \)
Wybieramy 2 kule z 6 dostępnych białych:
\( |B| = \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} = 15 \)
\( P(B) = \frac{15}{45} = \mathbf{\frac{1}{3}} \)
Zdarzenie C (Obie zielone)
Wybieramy 2 kule z 4 dostępnych zielonych:
\( |C| = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2} = 6 \)
\( P(C) = \frac{6}{45} = \mathbf{\frac{2}{15}} \)
Wybieramy 2 kule z 4 dostępnych zielonych:
\( |C| = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2} = 6 \)
\( P(C) = \frac{6}{45} = \mathbf{\frac{2}{15}} \)
Zdarzenie D (Ten sam kolor)
Zajdzie, gdy wylosujemy (2 białe) LUB (2 zielone). Sumujemy wyniki z punktów B i C:
\( |D| = |B| + |C| = 15 + 6 = 21 \)
\( P(D) = \frac{21}{45} = \mathbf{\frac{7}{15}} \)
Zajdzie, gdy wylosujemy (2 białe) LUB (2 zielone). Sumujemy wyniki z punktów B i C:
\( |D| = |B| + |C| = 15 + 6 = 21 \)
\( P(D) = \frac{21}{45} = \mathbf{\frac{7}{15}} \)
Weryfikacja logiczna
W każdym zadaniu tego typu warto sprawdzić, czy suma wszystkich możliwych wyników daje 1 (czyli 100%): \( P(\text{różne}) + P(\text{obie białe}) + P(\text{obie zielone}) = \frac{24}{45} + \frac{15}{45} + \frac{6}{45} = \frac{45}{45} = 1 \).
Wszystko się zgadza!
Ważna uwaga
Zauważ, że suma zdarzeń "różne kolory" (\( P(A) \)) oraz "ten sam kolor" (\( P(C) \)) daje dokładnie 1.
\[ \frac{8}{15} + \frac{7}{15} = \frac{15}{15} = 1 \]
Jest tak dlatego, że są to zdarzenia przeciwne – przy losowaniu dwóch kul nie ma innej możliwości: albo będą takie same, albo różne.
Odpowiedź końcowa
Prawdopodobieństwa wynoszą: \( P(A)=\frac{8}{15} \), \( P(B)=\frac{1}{3} \), \( P(C)=\frac{2}{15} \), \( P(D)=\frac{7}{15} \).