PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE - ZADANIA
Zadanie 2
Z tali 52 kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to piątka jeżeli wiadomo, że wylosowana karta, nie jest figurą (zakładamy, że As jest figurą).Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe: \(\displaystyle P(A| B)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P(B)}\)
\(\Omega\) - Liczba wszystkich możliwych zdarzen
Losujemy jedną kartę z 52 kart. Zatem zdarzeń elementarnych jest 52, więc Moc zbioru \(\Omega\)
\(\left|\Omega\right|=52\)
Losujemy jedną kartę z 52 kart. Zatem zdarzeń elementarnych jest 52, więc Moc zbioru \(\Omega\)
\(\left|\Omega\right|=52\)
Wprowadźmy oznaczenia
\(A\) - zdarzenie wylosowano 5-tkę
\(B\) - zdarzenie wylosowano kartę, która nie jest figurą.
\(A\cap B\) - zdarzenie wylosowano 5-tkę i kartę, która nie jest figurą.
\(A\) - zdarzenie wylosowano 5-tkę
\(B\) - zdarzenie wylosowano kartę, która nie jest figurą.
\(A\cap B\) - zdarzenie wylosowano 5-tkę i kartę, która nie jest figurą.
Zdarzenie A - wylosowano 5-tkę
W tali mamy cztery 5-tki
\(A=\left\{(5pik),(5trefl),(5kier),(5karo)\right\}\)
W tali mamy cztery 5-tki
\(A=\left\{(5pik),(5trefl),(5kier),(5karo)\right\}\)
Moc zbioru A
\(\left|A\right|=4\)
\(\left|A\right|=4\)
Zdarzenie (warunek) B - wylosowano kartę która nie jest figurą.
W tali mamy 36 kart które nie są figurami
\(C=\{pik:2,3,4,5,6,7,8,9,10;\;trefl:2,3,4,5,6,7,8,9,10;\)
\(kier:2,3,4,5,6,7,8,9,10;\;karo:2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\)
W tali mamy 36 kart które nie są figurami
\(C=\{pik:2,3,4,5,6,7,8,9,10;\;trefl:2,3,4,5,6,7,8,9,10;\)
\(kier:2,3,4,5,6,7,8,9,10;\;karo:2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\)
Moc zbioru B
\(\left|B\right|=36\)
\(\left|B\right|=36\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia B
\(P(B)=\large\frac{\left|C\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{36}{52}=\frac{9}{13}\)
\(P(B)=\large\frac{\left|C\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{36}{52}=\frac{9}{13}\)
Część wspólna zbiorów A i B
\(A\cap C=\{(5pik),(5trefl),(5kier),(5karo)\}\)
\(A\cap C=\{(5pik),(5trefl),(5kier),(5karo)\}\)
Moc zbioru \(P(A\cap B)\)
\(\left|A\cap C\right|=4\)
\(\left|A\cap C\right|=4\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\cap C\)
\(P(A\cap B)=\large\frac{\left|A\cap B\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac4{52}=\frac1{13}\)
\(P(A\cap B)=\large\frac{\left|A\cap B\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac4{52}=\frac1{13}\)
Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe
\(P(A| C)=\large\frac{P\left(A\cap C\right)}{P(C)}=\frac1{13}:\frac9{13}=\frac{1}{13}\cdot\frac{13}{9}=\frac{1}{9}\)
\(P(A| C)=\large\frac{P\left(A\cap C\right)}{P(C)}=\frac1{13}:\frac9{13}=\frac{1}{13}\cdot\frac{13}{9}=\frac{1}{9}\)