PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE - ZADANIA
Zadanie 3
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest większa od 7, jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadła czwórka.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe: \( \displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \Omega \) - Liczba wszystkich możliwych zdarzeń
Rzucamy dwa razy kostką, na każdej jest 6 wyników.
\( |\Omega| = 6 \cdot 6 = 36 \)
Rzucamy dwa razy kostką, na każdej jest 6 wyników.
\( |\Omega| = 6 \cdot 6 = 36 \)
Wprowadźmy oznaczenia:
\( A \) – suma oczek jest większa od 7
\( B \) – w pierwszym rzucie wypadła czwórka
\( A \) – suma oczek jest większa od 7
\( B \) – w pierwszym rzucie wypadła czwórka
Zdarzenie (warunek) B - czwórka w pierwszym rzucie
Wypisujemy wyniki, gdzie na pierwszym miejscu jest 4:
\( B = \{ (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) \} \)
\( |B| = 6 \)
\(\displaystyle P(B) = \frac{6}{36} \)
Wypisujemy wyniki, gdzie na pierwszym miejscu jest 4:
\( B = \{ (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) \} \)
\( |B| = 6 \)
\(\displaystyle P(B) = \frac{6}{36} \)
Część wspólna \( A \cap B \)
Szukamy par ze zbioru \( B \), których suma jest większa od 7 (czyli 8, 9 lub 10):
\( A \cap B = \{ (4,4), (4,5), (4,6) \} \)
\( |A \cap B| = 3 \)
\(\displaystyle P(A \cap B) = \frac{3}{36} \)
Szukamy par ze zbioru \( B \), których suma jest większa od 7 (czyli 8, 9 lub 10):
\( A \cap B = \{ (4,4), (4,5), (4,6) \} \)
\( |A \cap B| = 3 \)
\(\displaystyle P(A \cap B) = \frac{3}{36} \)
Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3}{36} : \frac{6}{36} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
\(\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3}{36} : \frac{6}{36} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle \frac{1}{2} \).