PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE - ZADANIA

Zadanie 4

Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest parzysta (zdarzenie \( A \)), jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadło więcej niż 4 oczka (zdarzenie \( B \)).

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru:
\( \displaystyle P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} \)

\( \Omega \) - Liczba wszystkich możliwych zdarzeń
Rzucamy dwiema kostkami:
\( |\Omega| = 6 \cdot 6 = 36 \)

Wprowadźmy oznaczenia:
\( A \) – suma oczek jest parzysta
\( B \) – w pierwszym rzucie wypadło 5 lub 6 oczek

Zdarzenie (warunek) B
Pierwsza kostka to 5 lub 6, druga kostka dowolna (6 możliwości dla każdej):
\( B = \{ (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \} \)
\( |B| = 2 \cdot 6 = 12 \)

Część wspólna \( A \cap B \)
Szukamy wyników z warunku \( B \), które dają parzystą sumę:
Jeśli na pierwszej jest 5 (nieparzysta), to na drugiej musi być: 1, 3, 5 (3 wyniki).
Jeśli na pierwszej jest 6 (parzysta), to na drugiej musi być: 2, 4, 6 (3 wyniki).
\(\displaystyle A \cap B = \{ (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) \} \)
\(\displaystyle |A \cap B| = 3 + 3 = 6 \)

(Zauważ, że zdarzenie A zawiera też np. parę (2,2), ale nie ma jej w B, więc nie trafia do części wspólnej).

Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle \frac{1}{2} \).