PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE - ZADANIA
Zadanie 5
Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 kul czarnych losujemy jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie wylosowane kule są białe, jeśli wiadomo, że przynajmniej jedna z wylosowanych kul jest biała.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe: \( \displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \Omega \) - Liczba wszystkich możliwych zdarzeń
Losujemy 2 kule z 10. Obliczamy liczbę kombinacji:
\(\displaystyle |\Omega| = C_2^{10} = \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} = 45 \)
Losujemy 2 kule z 10. Obliczamy liczbę kombinacji:
\(\displaystyle |\Omega| = C_2^{10} = \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} = 45 \)
Wprowadźmy oznaczenia:
\( A \) – obie wylosowane kule są białe
\( B \) – przynajmniej jedna z wylosowanych kul jest biała
\( A \) – obie wylosowane kule są białe
\( B \) – przynajmniej jedna z wylosowanych kul jest biała
Zdarzenie B - przynajmniej jedna biała
Suma dwóch przypadków: (1 biała i 1 czarna) LUB (2 białe):
\( B_1 \) - dokładnie jedna kula biała i jedna czarna:
\(\displaystyle |B_1| = C_1^4 \cdot C_1^6 = \binom{4}{1} \cdot \binom{6}{1} = 4 \cdot 6 = 24 \)
\( B_2 \) - dokładnie dwie kule białe:
\(\displaystyle\displaystyle |B_2| = C_2^4 = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2} = 6 \)
Suma dwóch przypadków: (1 biała i 1 czarna) LUB (2 białe):
\( B_1 \) - dokładnie jedna kula biała i jedna czarna:
\(\displaystyle |B_1| = C_1^4 \cdot C_1^6 = \binom{4}{1} \cdot \binom{6}{1} = 4 \cdot 6 = 24 \)
\( B_2 \) - dokładnie dwie kule białe:
\(\displaystyle\displaystyle |B_2| = C_2^4 = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2} = 6 \)
Łączna liczba zdarzeń sprzyjających warunkowi \( B \):
\( |B| = |B_1| + |B_2| = 24 + 6 = 30 \)
\( |B| = |B_1| + |B_2| = 24 + 6 = 30 \)
Część wspólna \( A \cap B \)
Iloczyn zdarzeń oznacza, że obie kule są białe. Odpowiada to przypadkowi \( B_2 \).
\( |A \cap B| = \binom{4}{2} = 6 \)
\(\displaystyle P(A \cap B) = \frac{6}{45} \)
Iloczyn zdarzeń oznacza, że obie kule są białe. Odpowiada to przypadkowi \( B_2 \).
\( |A \cap B| = \binom{4}{2} = 6 \)
\(\displaystyle P(A \cap B) = \frac{6}{45} \)
Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \)
\(\displaystyle P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \)
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych pod warunkiem, że przynajmniej jedna jest biała, wynosi \( \frac{1}{5} \).