WZÓR BAYESA - ZADANIA
Zadanie 3
W urnie I są 3 kule białe i 2 czarne, a w urnie II jest 7 kul białych i 4 czarne. Z urny I przekładamy losową kulę do urny II, a następnie losujemy kulę z urny II. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przełożono kulę czarną, jeśli z urny II wylosowano kulę białą.
Analiza i oznaczenia (Zdarzenia zależne)
Skład urny II zależy od tego, jaka kula została do niej dołożona z urny I. Definiujemy hipotezy dotyczące przełożonej kuli:\(H_1\) – z urny I do II przełożono kulę białą, \(P(H_1) = \frac{3}{5}\)
\(H_2\) – z urny I do II przełożono kulę czarną, \(P(H_2) = \frac{2}{5}\)
\(A\) – z urny II wylosowano kulę białą.
Krok 1: Nowy skład urny II i prawdopodobieństwa warunkowe
Po przełożeniu kuli, w urnie II jest łącznie 12 kul (było 11).
- Jeśli zaszło \(H_1\): w II jest 8 białych i 4 czarne \(\implies P(A|H_1) = \frac{8}{12}\)
- Jeśli zaszło \(H_2\): w II jest 7 białych i 5 czarnych \(\implies P(A|H_2) = \frac{7}{12}\)
Krok 2: Obliczenie całkowitego prawdopodobieństwa \(P(A)\)
Obliczamy szansę na wylosowanie kuli białej z urny II:
\(P(A) = P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2)\)
\(P(A) = \frac{8}{12} \cdot \frac{3}{5} + \frac{7}{12} \cdot \frac{2}{5} = \frac{24}{60} + \frac{14}{60} = \mathbf{\frac{38}{60} = \frac{19}{30}}\)
Krok 3: Zastosowanie wzoru Bayesa
Szukamy prawdopodobieństwa, że przełożono kulę czarną (\(H_2\)):
\(P(H_2|A) = \frac{P(A|H_2) \cdot P(H_2)}{P(A)} = \frac{\frac{14}{60}}{\frac{38}{60}} = \frac{14}{38} = \mathbf{\frac{7}{19} \approx 0,3684}\)
Uwaga do obliczeń
W tego typu zadaniach najczęstszym błędem jest zapomnienie o zwiększeniu liczby kul w mianowniku urny II. Pamiętaj: skoro dołożyliśmy jedną kulę, to mianownik w prawdopodobieństwach warunkowych musi wzrosnąć z 11 na 12.
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo, że przełożono kulę czarną, wynosi 7/19 (ok. 0,3684).