WZÓR BAYESA - ZADANIA
Zadanie 4
W fabryce są trzy maszyny: \(M_1, M_2, M_3\), które dostarczają odpowiednio 20%, 30% i 50% całej produkcji. Wadliwość maszyn wynosi odpowiednio: 5% dla \(M_1\), 4% dla \(M_2\) oraz 2% dla \(M_3\). Wybrano losowo jeden produkt i okazał się on wadliwy. Oblicz prawdopodobieństwo, że został on wyprodukowany przez maszynę \(M_1\).
Analiza i oznaczenia (Identyfikacja przyczyny błędu)
Znamy skutek (produkt jest wadliwy) i chcemy sprawdzić prawdopodobieństwo hipotezy, że pochodzi on z pierwszej maszyny. Definiujemy hipotezy:\(H_1\) – produkt pochodzi z maszyny \(M_1\), \(P(H_1) = 0,20\)
\(H_2\) – produkt pochodzi z maszyny \(M_2\), \(P(H_2) = 0,30\)
\(H_3\) – produkt pochodzi z maszyny \(M_3\), \(P(H_3) = 0,50\)
\(A\) – wylosowany produkt jest wadliwy.
Krok 1: Wadliwość warunkowa maszyn
Zapisujemy szanse na detal wadliwy dla każdej z maszyn:
- Wadliwość \(M_1\): \(P(A|H_1) = 0,05\)
- Wadliwość \(M_2\): \(P(A|H_2) = 0,04\)
- Wadliwość \(M_3\): \(P(A|H_3) = 0,02\)
Krok 2: Obliczenie całkowitego prawdopodobieństwa wadliwości \(P(A)\)
Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite (mianownik wzoru Bayesa):
\(P(A) = P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2) + P(A|H_3)P(H_3)\)
\(P(A) = 0,05 \cdot 0,20 + 0,04 \cdot 0,30 + 0,02 \cdot 0,50\)
\(P(A) = 0,010 + 0,012 + 0,010 = \mathbf{0,032}\)
Krok 3: Zastosowanie wzoru Bayesa
Pytamy o szansę, że za wadę odpowiada maszyna \(H_1\):
\(P(H_1|A) = \frac{P(A|H_1) \cdot P(H_1)}{P(A)} = \frac{0,010}{0,032} = \frac{10}{32} = \mathbf{0,3125}\)
Interpretacja wyniku
Mimo że maszyna \(M_1\) produkuje najmniej towaru (tylko 20%), to przez swoją najwyższą wadliwość (5%) jest odpowiedzialna za ponad 31% wszystkich braków w fabryce.
Gdybyśmy zapytali o maszynę \(M_3\), wynik byłby taki sam (\(0,3125\)), ponieważ choć produkuje ona dużo (50%), to jej niska wadliwość (2%) "równoważy" dużą skalę produkcji.
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo, że wadliwy produkt pochodzi z maszyny \(M_1\), wynosi 0,3125.