RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie 10
Rozwiąż równanie: \(\text{ctg} \,3x = \text{tg}\, \frac{\pi}{5} \) Rozwiązanie
\(\text{ctg}\, 3x = \text{tg}\, \frac{\pi}{5} \)
Tangens stojący po prawej stronie równania zamieniamy na cotangens dokonamy tego stosując wzór redukcyjny \(\text{tg}\,\alpha = \text{ctg}\,(\frac{\pi}{2}-\alpha)\)
\(\text{tg}\, \frac{\pi}{5}=\text{ctg}\, (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5})=\text{ctg}\, \frac{3\pi}{10} \)
\(\text{tg}\, \frac{\pi}{5}=\text{ctg}\, (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5})=\text{ctg}\, \frac{3\pi}{10} \)
\(\text{ctg} \,3x = \text{ctg} \,\frac{3\pi}{10} \)
Teraz podstawiamy \(3x=t\) do równania
\(\text{ctg} \,t = \text{ctg} \,\frac{3\pi}{10} \)
Teraz podstawiamy \(3x=t\) do równania
\(\text{ctg} \,t = \text{ctg} \,\frac{3\pi}{10} \)
Teraz stosujemy wzory na rozwiązanie dla cotangensa \( (x = \alpha + k\pi) \)
\(t=\frac{3\pi}{10}+k\pi\)
\(t=\frac{3\pi}{10}+k\pi\)
Powracamy do naszego podstawienia \(3x=t\)
\(3x=\frac{3\pi}{10}+k\pi\)
\(3x=\frac{3\pi}{10}+k\pi\)
Na koniec dzielimy obustronnie równania przez 3
\(3x=\frac{3\pi}{10}+k\pi\,\,\,/:3\)
\(x=\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{3}\)
\(3x=\frac{3\pi}{10}+k\pi\,\,\,/:3\)
\(x=\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{3}\)
Odpowiedź
\(x=\frac{\pi}{10}+\frac{k\pi}{3}\) gdzie \(k\in \mathbb{Z}\)