RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie 9
Rozwiąż równanie: \(\sin 2x = \cos \frac{\pi}{6} \)
Rozwiązanie
\(\sin 2x = \cos \frac{\pi}{6} \)
Cosinus stojący po prawej stronie równania zamieniamy na sinus dokonamy tego stosując wzór redukcyjny \(\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\)
\(\cos \frac{\pi}{6}=\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})=\sin \frac{\pi}{3} \)
\(\sin 2x = \sin \frac{\pi}{3} \)
Teraz podstawiamy \(2x=t\) do równania
\(\sin t = \sin \frac{\pi}{3} \)
Teraz stosujemy wzory na rozwiązanie dla sinusa \( (x = \alpha + 2k\pi) \) lub \( (x = \pi - \alpha + 2k\pi) \)
\(t=\frac{\pi}{3}+2k\pi\) lub \(t=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi\)
\(t=\frac{\pi}{3}+2k\pi\) lub \(t=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\)
Powracamy do naszego podstawienia \(2x=t\)
\(2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\) lub \(2x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\)
Na koniec dzielimy obustronnie równania przez 2
\(2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\,\,\,/:2\) lub \(2x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\,\,\,/:2\)
\(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\) lub \(x=\frac{\pi}{3}+k\pi\)
Odpowiedź
\(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\) lub \(x=\frac{\pi}{3}+k\pi\) gdzie \(k\in \mathbb{Z}\)
