RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA PODSTAWOWE

Zadanie 12

Rozwiąż równanie: \( \cos 4x - \cos x =0 \)

Rozwiązanie

\( \cos 4x - \cos x =0 \)

Przenosimy \(\cos x\) na prawą stronę.
\( \cos 4x = \cos x \)

Powołujemy się na tożsamość: \( \cos \alpha = \cos \beta \iff \alpha = \beta + 2k\pi \) lub \( \alpha = -\beta + 2k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \).

Stosujemy wzór:
\( 4x = x + 2k\pi \) lub \( 4x = -x + 2k\pi \)

Rozwiązujemy pierwsze równanie:
\( 4x - x = 2k\pi \)
\( 3x = 2k\pi \)
\( x = \frac{2k\pi}{3} \)

Rozwiązujemy drugie równanie:
\( 4x + x = 2k\pi \)
\( 5x = 2k\pi \)
\( x = \frac{2k\pi}{5} \)

Odpowiedź

\( x = \frac{2k\pi}{3} \) lub \( x = \frac{2k\pi}{5} \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \).