RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie 13
Rozwiąż równanie: \(\cos\left (\frac12 x+\frac{\pi}{6}\right ) = \cos\frac{\pi}{6} \) Rozwiązanie
\(\cos\left (\frac12 x+\frac{\pi}{6}\right ) = \cos\frac{\pi}{6} \)
Podstawiamy \(\left (\frac12 x+\frac{\pi}{6}\right )=t\) do równania
\(\cos t = \cos\frac{\pi}{6} \)
\(\cos t = \cos\frac{\pi}{6} \)
Teraz stosujemy wzory na rozwiązanie dla cosinusa \( (x = \alpha + 2k\pi) \) lub \( (x = - \alpha + 2k\pi) \)
Pierwsza seria rozwiązań:
\(t=\frac{\pi}{6}+2k\pi\)
Powracamy do naszego podstawienia \(\left ( \frac12 x+\frac{\pi}{6} \right )=t\)
\(\frac12 x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi\)
\(\frac12 x=2k\pi\)
\( x=4k\pi\)
\(t=\frac{\pi}{6}+2k\pi\)
Powracamy do naszego podstawienia \(\left ( \frac12 x+\frac{\pi}{6} \right )=t\)
\(\frac12 x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi\)
\(\frac12 x=2k\pi\)
\( x=4k\pi\)
Druga seria rozwiązań:
\(t=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\)
Powracamy do naszego podstawienia \(\left ( \frac12 x+\frac{\pi}{6} \right )=t\)
\(\frac12 x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\)
\(\frac12 x=-\frac{2\pi}{6}+2k\pi\)
\( x=-\frac{2\pi}{3}+4k\pi\)
\(t=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\)
Powracamy do naszego podstawienia \(\left ( \frac12 x+\frac{\pi}{6} \right )=t\)
\(\frac12 x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\)
\(\frac12 x=-\frac{2\pi}{6}+2k\pi\)
\( x=-\frac{2\pi}{3}+4k\pi\)
Odpowiedź
\( x=4k\pi\) lub \( x=-\frac{2\pi}{3}+4k\pi\) gdzie \(k\in \mathbb{Z}\)