RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie 6
Rozwiąż równanie: \(2 \cos x = -1\)
Rozwiązanie
\(2 \cos x = -1\)
W pierwszej kolejności pozbywamy się liczby 2 przy cosinusie dzieląc równanie obustronnie przez 2
\(\cos x = -\frac{1}{2}\)
Z tabeli odczytujemy, że \(\frac12=\cos\frac{\pi}{2}\) więc nasze równanie zapisujemy w postaci
\( \cos x = -\cos\frac{\pi}{3} \)
Teraz pozbywamy się minusa przy cosinusie przez zastosowanie wzoru redukcyjnego:
\([ -\cos\alpha = \cos(\pi -\alpha) ] \)
\(-\cos\frac{\pi}{3} = \cos(\pi -\frac{\pi}{3}) =\cos \frac{2\pi}{3}\)
mamy więc
\( \cos x =\cos \frac{2\pi}{3}\)
Teraz zastosujemy wzór \( (x = \pm \alpha + 2k\pi) \) na serie rozwiązań dla cosinusa. Do wzoru podstawiamy \( \alpha = \frac{2\pi}{3} \)
\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \)
Odpowiedź
\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) gdzie \(k\in \mathbb{Z}\)
