RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie 8
Rozwiąż równanie: \(\sin 4x = \sin \frac{4\pi}{3} \)
Rozwiązanie
\(\sin 4x = \sin \frac{4\pi}{3} \)
Podstawiamy \(4x=t\) do równania
\(\sin t = \sin \frac{4\pi}{3} \)
Teraz możemy zastosować wzory na rozwiązanie dla sinusa \( (x = \alpha + 2k\pi) \) lub \( (x = \pi - \alpha + 2k\pi) \)
\(t=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\) lub \(t=\pi-\frac{4\pi}{3}+2k\pi\)
\(t=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\) lub \(t=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\)
Powracamy do naszego podstawienia \(4x=t\)
\(4x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\) lub \(4x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\)
Na koniec dzielimy obustronnie równania przez 4
\(4x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\,\,\,/:4\) lub \(4x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\,\,\,/:4\)
\(x=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}\) lub \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\)
Odpowiedź
\(x=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}\) lub \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\) gdzie \(k\in \mathbb{Z}\)
