RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE
Zadanie 10
Rozwiąż równanie: \( \cos 4x + 2 \cos^2 x = 1 \)
Rozwiązanie
\( \cos 4x + 2 \cos^2 x = 1 \)
Korzystamy ze wzoru redukcyjnego: \( \cos 4x = 2 \cos^2 2x - 1 \)
\( 2 \cos^2 2x - 1 + 2 \cos^2 x = 1 \)
\( 2 \cos^2 2x - 1 + 2 \cos^2 x = 1 \)
Przenosimy wyrazy na jedną stronę:
\( 2 \cos^2 2x + 2 \cos^2 x = 2 \)
\( \cos^2 2x + \cos^2 x = 1 \)
\( 2 \cos^2 2x + 2 \cos^2 x = 2 \)
\( \cos^2 2x + \cos^2 x = 1 \)
Podstawiamy \( \cos^2 2x = (2 \cos^2 x - 1)^2 \) i rozwiązujemy równanie:
\( (2 \cos^2 x - 1)^2 + \cos^2 x = 1 \)
\( (2 \cos^2 x - 1)^2 + \cos^2 x = 1 \)
Podstawiamy \( t = \cos^2 x \) i rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\( (2t - 1)^2 + t = 1 \)
\( 4t^2 - 4t + 1 + t = 1 \)
\( 4t^2 - 3t = 0 \)
\( (2t - 1)^2 + t = 1 \)
\( 4t^2 - 4t + 1 + t = 1 \)
\( 4t^2 - 3t = 0 \)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\( t(4t - 3) = 0 \)
\( t = 0 \) lub \( 4t - 3 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{4} \)
\( t(4t - 3) = 0 \)
\( t = 0 \) lub \( 4t - 3 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{4} \)
Powracamy do podstawienia \( \cos^2 x = t \):
\( \cos^2 x = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
\( \cos^2 x = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cos^2 x = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
\( \cos^2 x = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Rozwiązujemy równanie \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} =\cos \frac{\pi}{6} \)
\( \cos x =\cos x \frac{\pi}{6} \)
\( x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} =\cos \frac{\pi}{6} \)
\( \cos x =\cos x \frac{\pi}{6} \)
\( x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
Rozwiązujemy równanie \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( -\frac{\sqrt{3}}{2} =-\cos \frac{\pi}{6}=\cos({\pi}-\frac{\pi}{6})=\cos\frac{5\pi}{6} \)
\( \cos x =\cos\frac{5\pi}{6} \)
\( x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)
\( -\frac{\sqrt{3}}{2} =-\cos \frac{\pi}{6}=\cos({\pi}-\frac{\pi}{6})=\cos\frac{5\pi}{6} \)
\( \cos x =\cos\frac{5\pi}{6} \)
\( x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)
Odpowiedź
\( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) lub \( x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)
gdy opuścimy powtarzające się rozwiązania
\( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) lub \( x = \frac{\pi}{6} + k\pi \) lub \( x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)