RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE
Zadanie 11
Rozwiąż równanie: \( \sin 2x = \cos x \)
Rozwiązanie
\( \sin 2x = \cos x \)
Korzystamy ze wzoru redukcyjnego: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)
\( 2 \sin x \cos x = \cos x \)
\( 2 \sin x \cos x = \cos x \)
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
\( 2 \sin x \cos x - \cos x = 0 \)
\( 2 \sin x \cos x - \cos x = 0 \)
Wyciągamy \( \cos x \) przed nawias:
\( \cos x (2 \sin x - 1) = 0 \)
\( \cos x (2 \sin x - 1) = 0 \)
Iloczyn jest równy zero, więc mamy dwa przypadki:
1) \( \cos x = 0 \)
\( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
\( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
2) \( 2 \sin x - 1 = 0 \)
\( \sin x = \frac{1}{2} \)
Rozwiązujemy równanie \( \sin x = \sin \frac{\pi}{6} \), co daje:
\( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
\( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)
\( \sin x = \frac{1}{2} \)
Rozwiązujemy równanie \( \sin x = \sin \frac{\pi}{6} \), co daje:
\( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
\( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)
Odpowiedź
\( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) lub \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)