RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE

Zadanie 9

Rozwiąż równanie: \( 3(1 - \sin x) = 1 + \cos 2x \)

Rozwiązanie

\( 3(1 - \sin x) = 1 + \cos 2x \)

Rozwijamy lewą stronę równania
\( 3 - 3\sin x = 1 + \cos 2x \)

Przenosimy wyrazy na jedną stronę
\( 3 - 1 - 3\sin x - \cos 2x = 0 \)
\( 2 - 3\sin x - \cos 2x = 0 \)

Podstawiamy tożsamość trygonometryczną \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \)
\( 2 - 3\sin x - (1 - 2\sin^2 x) = 0 \)
\( 2 - 3\sin x - 1 + 2\sin^2 x = 0 \)
\( 1 + 2\sin^2 x - 3\sin x = 0 \)

Podstawiamy \( \sin x = t \), gdzie \( -1 \leq t \leq 1 \), i rozwiązujemy równanie kwadratowe
\( 2t^2 - 3t + 1 = 0 \)

Obliczamy deltę:
\( \Delta = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1 \)
\( \sqrt{\Delta} = 1 \)
\( t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 \)
\( t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \)

Rozwiązujemy równania \( \sin x = 1 \) oraz \( \sin x = \frac{1}{2} \)

Dla \( \sin x = 1 \):
\( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)

Dla \( \sin x = \frac{1}{2} \), czyli \( \sin x = \sin \frac{\pi}{6} \):
\( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
lub
\( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)

Odpowiedź

\( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) lub \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)