RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE

Zadanie 12

Rozwiąż równanie: \( \text{ctg} x = 2 \cos x \)

Rozwiązanie

\( \text{ctg} x = 2 \cos x \)

Z definicji cotangensa: \( \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \), więc podstawiamy:
\( \frac{\cos x}{\sin x} = 2 \cos x \)

Mnożymy obustronnie przez \( \sin x \), aby pozbyć się ułamka:
\( \cos x = 2 \cos x \sin x \)

Przekształcamy równanie:
\( \cos x - 2 \cos x \sin x = 0 \)
\( \cos x (1 - 2 \sin x) = 0 \)

Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem:

Dla \( \cos x = 0 \) mamy rozwiązania:
\( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Dla \( 1 - 2 \sin x = 0 \) rozwiązujemy:
\( 2 \sin x = 1 \)
\( \sin x = \frac{1}{2} \)

Rozwiązania dla \( \sin x = \frac{1}{2} \):
\( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
\( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)

Odpowiedź

\( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) lub \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)