RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE
Zadanie 3
Rozwiąż równanie: \( (\sin x - \cos x)^2 = \sin 2x \)
Rozwiązanie
\( (\sin x - \cos x)^2 = \sin 2x \)
Rozwijamy lewą stronę równania:
\( \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \sin 2x \)
\( \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \sin 2x \)
Z jedynki trygonometrycznej \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):
\( 1 - 2 \sin x \cos x = \sin 2x \)
\( 1 - 2 \sin x \cos x = \sin 2x \)
Podstawiamy tożsamość \( 2\sin x \cos x =\sin 2x\):
\( 1 - \sin 2x = \sin 2x \)
\( 1 = 2 \sin 2x \)
\( \sin 2x = \frac{1}{2} \)
\( 1 - \sin 2x = \sin 2x \)
\( 1 = 2 \sin 2x \)
\( \sin 2x = \frac{1}{2} \)
Rozwiązujemy równanie \( \sin 2x = \frac{1}{2} \). Z tablic trygonometrycznych:
\( 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( 2x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
\( 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)
\( 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( 2x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
\( 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)
Dzielimy obustronnie przez 2:
\( x = \frac{\pi}{12} + k\pi \) lub \( x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)
\( x = \frac{\pi}{12} + k\pi \) lub \( x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)
Odpowiedź
\( x = \frac{\pi}{12} + k\pi \) lub \( x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)