RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE
Zadanie 4
Rozwiąż równanie: \( \text{tg} \, x + \text{ctg} \, x = 2 \)
Rozwiązanie
\( \text{tg} \, x + \text{ctg} \, x = 2 \)
Zamieniamy cotangens na tangens:
\( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 2 \)
\( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 2 \)
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\( \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = 2 \)
\( \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = 2 \)
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):
\( \frac{1}{\sin x \cos x} = 2 \)
\( \frac{1}{\sin x \cos x} = 2 \)
Mnożymy obustronnie przez \( \sin x \cos x \):
\( 1 = 2 \sin x \cos x \)
\( 1 = 2 \sin x \cos x \)
Zamieniamy \( 2 \sin x \cos x \) na \( \sin 2x \):
\( 1 = \sin 2x \)
\( 1 = \sin 2x \)
Rozwiązujemy równanie \( \sin 2x = 1 \):
\( 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
\( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)
\( 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
\( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)
Odpowiedź
\( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \).