RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE
Zadanie 5
Rozwiąż równanie: \( 2\sin (x + \frac{\pi}{3}) = \sin x \)
Rozwiązanie
\( 2\sin (x + \frac{\pi}{3}) = \sin x \)
Dzielimy obustronnie przez 2:
\( \sin (x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \sin x \)
\( \sin (x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \sin x \)
Korzystamy ze wzoru na sinus sumy:
\( \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \)
\( \sin (x + \frac{\pi}{3}) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} \)
\( \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \)
\( \sin (x + \frac{\pi}{3}) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} \)
Podstawiamy: \(\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \) oraz \(\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\( \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \sin x \)
\( \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \sin x \)
Przenosimy wyrazy na jedną stronę:
\( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 0 \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = 0 \)
\( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 0 \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = 0 \)
Dzielimy przez \( \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\( \cos x = 0 \)
\( \cos x = 0 \)
Rozwiązujemy równanie:
\( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
\( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
Odpowiedź
\( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)