RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE
Zadanie 6
Rozwiąż równanie: \( \cos^2 2x + 4\cos^2 x = 2 \)
Rozwiązanie
\( \cos^2 2x + 4\cos^2 x = 2 \)
Korzystamy ze wzoru: \( \cos^2 2x = (2\cos^2 x - 1)^2 \)
\( (2\cos^2 x - 1)^2 + 4\cos^2 x = 2 \)
\( (2\cos^2 x - 1)^2 + 4\cos^2 x = 2 \)
Rozwijamy kwadrat:
\( 4\cos^4 x - 4\cos^2 x + 1 + 4\cos^2 x = 2 \)
\( 4\cos^4 x - 4\cos^2 x + 1 + 4\cos^2 x = 2 \)
Uproszczamy:
\( 4\cos^4 x + 1 = 2 \)
\( 4\cos^4 x = 1 \)
\( \cos^4 x = \frac{1}{4} \)
\( \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( 4\cos^4 x + 1 = 2 \)
\( 4\cos^4 x = 1 \)
\( \cos^4 x = \frac{1}{4} \)
\( \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Rozwiązania dla \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) to:
\( \frac{\sqrt{2}}{2}= \cos \frac{\pi}{4} \)
\( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi \)
\( \frac{\sqrt{2}}{2}= \cos \frac{\pi}{4} \)
\( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi \)
Rozwiązania dla \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) to:
\( - \frac{\sqrt{2}}{2}= -\cos \frac{\pi}{4}=\cos(\pi-\frac{\pi}{4})=\cos \frac {3\pi}{4}\)
\( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \)
\( - \frac{\sqrt{2}}{2}= -\cos \frac{\pi}{4}=\cos(\pi-\frac{\pi}{4})=\cos \frac {3\pi}{4}\)
\( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \)
Odpowiedź
\( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) lub \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)