RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE
Zadanie 7
Rozwiąż równanie: \( \cos^2 x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{3}{2} \)
Rozwiązanie
\( \cos^2 x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{3}{2} \)
Z jedynki trygonometrycznej \( \sin^2 x +\cos^2 x = 1 \) mamy \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \)
\( 1 - \sin^2 x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{3}{2} \)
\( 1 - \sin^2 x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{3}{2} \)
Przekształcamy równanie
\( \sin^2 x - \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} = 0 \)
\( \sin^2 x - \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} = 0 \)
Podstawiamy \( \sin x = t \), gdzie \(( -1 \leq t \leq 1) \)
\( t^2 - \frac{1}{2} t - \frac{1}{2} = 0 \)
\( t^2 - \frac{1}{2} t - \frac{1}{2} = 0 \)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe za pomocą wzorów kwadratowych:
\( \Delta = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) \)
\( \Delta = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} \)
\( \sqrt{\Delta} = \frac{3}{2} \)
\( t_{1} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}{2}=\frac{1+3}{4} = 1 \)
\( t_{2} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}}{2}=\frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2} \)
\( \Delta = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) \)
\( \Delta = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} \)
\( \sqrt{\Delta} = \frac{3}{2} \)
\( t_{1} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}{2}=\frac{1+3}{4} = 1 \)
\( t_{2} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}}{2}=\frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2} \)
Powracamy do podstawienia i rozwiązujemy równania za pomocą wzorów na sinus
Dla: \( \sin x = 1 \) rozwiązaniem jest
\( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
\( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
Dla: \( \sin x = -\frac{1}{2} \) mamy: \(-\frac12=-\sin\frac{\pi}{6}=\sin(-\frac{\pi}{6})\) zatem
\( \sin x = \sin(-\frac{\pi}{6}) \)
\( \sin \alpha = \sin \beta \iff (x = \alpha + 2k\pi) \) lub \( (x = \pi - \alpha + 2k\pi) \)
\( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
\( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \)
\( \sin x = \sin(-\frac{\pi}{6}) \)
\( \sin \alpha = \sin \beta \iff (x = \alpha + 2k\pi) \) lub \( (x = \pi - \alpha + 2k\pi) \)
\( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
\( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \)
Odpowiedź
\( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) lub \( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \) lub \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \), gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)