RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - ZADANIA ZŁOŻONE

Z wyrażenia \( \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \) podstawiamy do równania:
\( 2\sin x = 3 \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \)

Przemnażamy obustronnie przez \( \sin x \) (dla \( \sin x \neq 0 \)):
\( 2\sin^2 x = 3\cos x \)

Stosujemy jedynkę trygonometryczną \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \):
\( 2(1 - \cos^2 x) = 3\cos x \)

Przekształcamy równanie:
\( 2 - 2\cos^2 x = 3\cos x \)
\( -2\cos^2 x - 3\cos x + 2 = 0 \)
\( 2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0 \)

Podstawiamy \( \cos x = t \), gdzie \( -1 \leq t \leq 1 \):
\( 2t^2 + 3t - 2 = 0 \)

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\( \Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) \)
\( \Delta = 9 + 16 = 25 \)
\( \sqrt{\Delta} = 5 \)
\( t_1 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( t_2 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 \)

Odrzucamy \( t_2 = -2 \), ponieważ \( \cos x \) należy do przedziału \([-1,1]\).
Dla \( \cos x = \frac{1}{2} \), rozwiązaniem jest:
\( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \)