NIERÓWNOŚCI Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 3
Rozwiąż nierówność \(|2x-5|-|x+4| \lt 2-2x\)
Rozwiązanie
Nierówność rozwiążemy, korzystając z definicji wartości bezwzględnej, rozpatrując przypadki w odpowiednich przedziałach.
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną:
\(2x-5=0 \Rightarrow x=2,5\)
\(x+4=0 \Rightarrow x=-4\)
Punkty te dzielą oś liczbową na trzy przedziały: \( (-\infty, -4) \), \( \langle -4, 2\frac12) \) oraz \( \langle 2\frac12, \infty) \).
Przypadek 1, gdy \(x \in \left( -\infty, -4 \right)\):
\(2x-5 \lt 0\) więc \(|2x-5|=-(2x-5)=-2x+5\)
\(x+4 \lt 0\) więc \(|x+4|=-(x+4)=-x-4\)
\(-2x+5 -(-x-4) \lt 2-2x\)
\(-2x+5+x+4 \lt 2-2x\)
\(-x+9 \lt 2-2x\)
\(x \lt -7\)
\(x \in \left( -\infty, -7 \right)\)
Częścią wspólną wyniku \( \left( -\infty, -7 \right)\) z przedziałem \(\left( -\infty, -4 \right)\) jest zbiór \(x \in \left( -\infty, -7 \right)\).
Przypadek 2, gdy \(x \in \left\langle -4, 2\frac12 \right)\):
\(2x-5 \lt 0\) więc \(|2x-5|=-2x+5\)
\(x+4 \ge 0\) więc \(|x+4|=x+4\)
\(-2x+5 -(x+4) \lt 2-2x\)
\(-2x+5-x-4 \lt 2-2x\)
\(-3x+1 \lt 2-2x\)
\(-x \lt 1 \quad / \cdot(-1)\)
\(x \gt -1\)
\(x \in \left( -1, \infty \right)\)
Częścią wspólną wyniku \( \left( -1, \infty \right)\) z przedziałem \(\left\langle -4, 2\frac12 \right)\) jest zbiór \(x \in \left( -1, 2\frac12 \right)\).
Przypadek 3, gdy \(x \in \left\langle 2\frac12, \infty \right)\):
\(2x-5 \ge 0\) więc \(|2x-5|=2x-5\)
\(x+4 \ge 0\) więc \(|x+4|=x+4\)
\(2x-5 -(x+4) \lt 2-2x\)
\(2x-5-x-4 \lt 2-2x\)
\(x-9 \lt 2-2x\)
\(3x \lt 11 \quad / :3\)
\(x \lt 3\frac{2}{3}\)
\(x \in \left( -\infty, 3\frac{2}{3} \right)\)
Częścią wspólną wyniku \( \left( -\infty, 3\frac{2}{3} \right)\) z przedziałem \(\left\langle 2\frac12, \infty \right)\) jest zbiór \(x \in \left\langle 2\frac12, 3\frac{2}{3} \right)\).
Końcową odpowiedź stanowi suma rozwiązań z przypadków: \(1, 2, 3\):
\(x \in \left( -\infty, -7 \right) \cup \left( -1, 2\frac12 \right) \cup \left\langle 2\frac12, 3\frac{2}{3} \right) \Leftrightarrow x \in \left( -\infty, -7 \right) \cup \left( -1, 3\frac{2}{3} \right)\)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań nierówności jest: \(x \in \left( -\infty, -7 \right) \cup \left( -1, 3\frac{2}{3} \right) \)
