NIERÓWNOŚCI Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 4
Rozwiąż nierówność \(|2x+4|+|x-1| \le 6\)
Rozwiązanie
Nierówność rozwiążemy korzystając z definicji wartości bezwzględnej.
Szukamy kiedy \(2x+4\) i \(x-1\) mają wartości ujemne a kiedy nieujemne.
\(2x+4>0\) \(x-1>0\)
\(x>-2\) \(x>1\)
Rozwiązujemy nierówność w trzech przedziałach \( \left( -\infty ,-2 \right), \left\langle -2,1 \right) , \left\langle 1 ,\infty \right)\)
Przypadek 1, gdy \(x \in \left( -\infty,-2 \right)\) to:
\(2x+4 \lt 0\) więc \(|2x+4|=-(2x+4)=-2x-4\)
\(x-1 \lt 0\) więc \(|x-1|=-(x-1)=-x+1\)
\(-2x-4 -x+1 \le 6\)
\(-3x-3 \le 6\)
\(-3x \le 9 \quad / :(-3)\)
\(x \ge -3\)
Uwzględniając przedział, otrzymujemy: \(x \in \left\langle -3, -2 \right)\).
Przypadek 2, gdy \(x\in\left\langle -2,1 \right)\) to:
\(2x+4 \ge 0\) więc \(|2x+4|=2x+4\)
\(x-1 \lt 0\) więc \(|x-1|=-(x-1)=-x+1\)
\(2x+4 -x+1 \le 6\)
\(x+5 \le 6\)
\(x \le 1\)
Wszystkie liczby z przedziału \(\left\langle -2,1 \right)\) spełniają ten warunek.
Przypadek 3, gdy \(x\in\left\langle 1 ,\infty \right)\) to:
\(2x+4 \ge 0\) więc \(|2x+4|=2x+4\)
\(x-1 \ge 0\) więc \(|x-1|=x-1\)
\(2x+4 + x-1 \le 6\)
\(3x+3 \le 6\)
\(3x \le 3 \quad / :3\)
\(x \le 1\)
Z tego przedziału tylko liczba \(1 \in \left\langle 1,\infty \right)\) spełnia nierówność.
Na koniec sumujemy zbiory rozwiązań otrzymane w poszczególnych przypadkach
\(x\in \left\langle -3, -2\right) \cup \left\langle -2, 1\right) \cup \{1\} \Leftrightarrow x\in \left\langle -3, 1\right\rangle \)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań nierówności \(|2x+4|+|x-1| \le 6\) jest przedział: \(x\in\left\langle-3,1\right\rangle \)
