NIERÓWNOŚCI Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 5
Rozwiąż nierówność \(||x+5|-7| \le 1\)
Rozwiązanie
Korzystamy z twierdzenia:
\( |w| \le a \Leftrightarrow -a \le w \le a \) dla \( a \ge 0 \)
W tym zadaniu \( w = |x+5|-7 \) oraz \( a = 1 \).
Zdejmujemy zewnętrzną wartość bezwzględną:
\( -1 \le |x+5|-7 \le 1 \quad / +7 \)
\( 6 \le |x+5| \le 8 \)
Rozbijamy to na koniunkcję (część wspólną) dwóch warunków:
\( |x+5| \ge 6 \quad \quad \wedge \quad \quad |x+5| \le 8 \)
Rozwiązanie pierwszej nierówności:
\( |x+5| \ge 6 \)
\( x+5 \le -6 \quad \vee \quad x+5 \ge 6 \)
\( x \le -11 \quad \vee \quad x \ge 1 \)
\( x \in (-\infty; -11\rangle \cup \langle 1; \infty) \)
Rozwiązanie drugiej nierówności:
\( |x+5| \le 8 \)
\( -8 \le x+5 \le 8 \quad / -5 \)
\( -13 \le x \le 3 \)
\( x \in \langle -13; 3 \rangle \)
Końcowym rozwiązaniem jest część wspólna obu powyższych warunków:
\( x \in \left( (-\infty; -11\rangle \cup \langle 1; \infty) \right) \cap \langle -13; 3 \rangle \)
\( x \in \langle -13; -11 \rangle \cup \langle 1; 3 \rangle \)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań nierówności jest suma przedziałów: \( x \in \langle -13; -11 \rangle \cup \langle 1; 3 \rangle \)
