NIERÓWNOŚCI Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 6
Rozwiąż nierówność \(||x-3|-2| \lt 4\)
Rozwiązanie
Nierówność rozwiążemy, korzystając z twierdzenia o wartości bezwzględnej:
\( |w| \lt a \Leftrightarrow -a \lt w \lt a \) dla \( a \gt 0 \)
W naszym przypadku \( w = |x-3|-2 \) oraz \( a = 4 \).
\( -4 \lt |x-3|-2 \lt 4 \quad / +2 \)
\( -2 \lt |x-3| \lt 6 \)
Otrzymaliśmy koniunkcję dwóch nierówności:
\( |x-3| \gt -2 \) \(\wedge\) \( |x-3| \lt 6 \)
Analiza pierwszej nierówności:
\( |x-3| \gt -2 \)
Wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest zawsze nieujemna (\(\ge 0\)), zatem jest zawsze większa od \(-2\).
\( x \in \mathbb{R} \)
Rozwiązanie drugiej nierówności:
\( |x-3| \lt 6 \)
Ponownie korzystamy z tego samego twierdzenia:
\( -6 \lt x-3 \lt 6 \quad / +3 \)
\( -3 \lt x \lt 9 \)
\( x \in (-3; 9) \)
Końcowym rozwiązaniem jest część wspólna obu warunków:
\( x \in \mathbb{R} \cap (-3; 9) \Leftrightarrow x \in (-3; 9) \)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: \(x \in (-3; 9) \)
