NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 3
Rozwiąż równanie z wartością bezwzględną: \(3|x-1|\ge12\) korzystając z
definicji.
Rozwiązanie
Równanie rozwiążemy korzystając z definicji wartości bezwzględnej.
\(\small |x| = \left\{ \begin{array}{cl}
x & : \ x \geq 0 \\
-x & : \ x < 0
\end{array} \right.\)
\(3|x-1|\ge 12\,\,\,\,\,/:(3)\)
\(|x-1|\ge 4\)
Przypadek pierwszy, sprawdzamy dla jakich x-ów wartość bezwzględna jest nieujemna:
\(x-1\ge 0\)
\(x\ge 1\)
\(x\in \langle 1, \infty )\)
dla tego przedziału opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku
zatem równanie będzie miało postać
\(x-1\ge4\)
\(x\ge5\)
\(x\in \langle 5, \infty )\)
Częścią wspólną przedziałów \(\langle 1, \infty )\) i \(\langle 5, \infty )\) to \( \langle 5, \infty )\)
Przypadek drugi, sprawdzamy dla jakich x-ów wartość bezwzględna jest ujemna:
\(x-1\lt 0\)
\(x\lt 1\)
\(x\in (\infty,1)\)
dla tego przedziału opuszczamy wartość bezwzględną ze zmiany znaku
a nasze równanie będzie miało postać
\(-(x-1)\ge4\)
\(-x+1\ge4\)
\(-x\ge3\)
\(x\le-3\)
\(x\in (\infty, -3 \rangle\)
Częścią wspólną przedziałów \((\infty,1)\) i \( (\infty, -3 \rangle\) to \( (\infty, -3 \rangle\)
Rozwiązaniem nierówności \(3|x-1|\ge12\) to suma przedziałów przypadku pierwszego i drugiego \( (\infty, -3 \rangle \cup \langle 5, \infty )\)
W interprwetacji geometrycznej rozwiazaniem równania \(3|x-1|\ge12 \,\,\,\,\,/:4\) \(|x-1|\ge4\) są to x-sy oddalone od \(1\) o wartość większą lub równą 4
Odpowiedź
Rozwiązaniem nierówności \(3|x-1|\ge12\) jest suma przedziałów \( (\infty, -3 \rangle \cup \langle 5, \infty )\)
