RÓWNANIA Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 5
Rozwiąż równanie \(|x+1|+|x-4|=5\)
Rozwiązanie
Nierówność rozwiążemy, korzystając z definicji wartości bezwzględnej, rozpatrując przypadki w odpowiednich przedziałach.
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną:
\(x+1=0 \Rightarrow x=-1\) \(x-4=0 \Rightarrow x=4\)
Punkty te dzielą oś liczbową na trzy przedziały: \( (-\infty, -1) \), \( \langle -1, 4) \) oraz \( \langle 4, \infty) \).
Przypadek 1, gdy \(x \in \left( -\infty,-1 \right)\) to:
\(x+1\lt 0\) więc \(|x+1|=-(x+1)=-x-1\)
\(x-4\lt 0\) więc \(|x-4|=-(x-4)=-x+4\)
\(|x+1|+|x-4|=5\)
\(-x-1 -x + 4 = 5\)
\(-2x + 3 = 5\)
\(-2x = 2\)
\(x = -1\)
Ale \(-1 \notin \left( -\infty,-1 \right)\), więc nie ma rozwiązania w tym przedziale.
Przypadek 2, gdy \(x\in\left\langle -1,4 \right)\) to:
\(x+1\geq 0\) więc \(|x+1|=x+1\)
\(x-4\lt 0\) więc \(|x-4|=-(x-4)=-x+4\)
\(x+1 -x + 4 = 5\)
\(5 = 5\)
Otrzymaliśmy równość (prawdę) co oznacza, że wszystkie liczby z przedziału \(\left\langle -1,4 \right)\) są rozwiązaniem równania.
Przypadek 3, gdy \(x\in\left\langle 4 ,\infty \right)\) to:
\(x+1\geq 0\) więc \(|x+1|=x+1\)
\(x-4\geq 0\) więc \(|x-4|=x-4\)
\(|x+1|+|x-4|=5\)
\(x+1 +x - 4 = 5\)
\(2x - 3 = 5\)
\(2x = 8\)
\(x = 4\)
\(4\in\left\langle 4 ,\infty \right)\), więc, liczba 4 jest rozwiązaniem równania w tym przedziale.
Na koniec sumujemy zbiory rozwiązań otrzymane w poszczególnych przypadkach
\(x\in \left\langle -1,4\right)\cup \{4\}\Leftrightarrow x\in\left\langle-1,4\right\rangle \)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań równana \(|x+1|+|x-4|=5\) jest przedział: \(x\in\left\langle-1,4\right\rangle \)
