RÓWNANIA Z PODWÓJNĄ WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 6
Rozwiąż równanie \(|x+2|-3|x+1|=x-1\)
Rozwiązanie
Nierówność rozwiążemy, korzystając z definicji wartości bezwzględnej, rozpatrując przypadki w odpowiednich przedziałach.
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną:
\(x+2=0 \Rightarrow x=-2\) \(x+1=0 \Rightarrow x=-1\)
Rozwiązujemy równanie w trzech przedziałach \( \left( -\infty ,-2 \right), \left\langle -2,-1 \right) , \left\langle -1 ,\infty \right)\)
Przypadek 1, gdy \(x \in \left( -\infty,-2 \right)\) to:
\(x+2\lt 0\) więc \(|x+2|=-(x+2)=-x-2\)
\(x+1\lt 0\) więc \(|x+1|=-(x+1)=-x-1\)
\(|x+2|-3|x+1|=x-1\)
\(-x-2 -3(-x-1) = x-1\)
\(-x-2 +3x +3 = x-1\)
\(2x +1 = x-1\)
\(x = -2\)
Ale \(-2 \notin \left( -\infty,-2 \right)\), więc nie ma rozwiązania w tym przedziale.
Przypadek 2, gdy \(x\in\left\langle -2,-1 \right)\) to:
\(x+2\geq 0\) więc \(|x+2|=x+2\)
\(x+1\lt 0\) więc \(|x+1|=-(x+1)=-x-1\)
\(|x+2|-3|x+1|=x-1\)
\(x+2 -3(-x-1) = x-1\)
\(x+2 +3x +3 = x-1\)
\(4x +5 = x-1\)
\(3x = -6\)
\(x = -2\)
\(-2 \in \left\langle -2,-1 \right)\), więc, liczba -2 jest rozwiązaniem równania w tym przedziale
Przypadek 3, gdy \(x\in\left\langle -1 ,\infty \right)\) to:
\(x+2\geq 0\) więc \(|x+2|=x+2\)
\(x+1\geq 0\) więc \(|x+1|=x+1\)
\(|x+2|-3|x+1|=x-1\)
\(x+2 -3(x+1) = x-1\)
\(x+2 -3x -3 = x-1\)
\(-2x -1 = x-1\)
\(-3x = 0\)
\(x = 0\)
\(0 \in \left\langle -1,\infty \right)\), więc, liczba 0 jest rozwiązaniem równania w tym przedziale.
Na koniec sumujemy zbiory rozwiązań otrzymane w poszczególnych przypadkach
\(x\in \{-2\}\cup \{0\}\Leftrightarrow x\in\{-2,0\} \)
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań równana \(|x+2|-3|x+1|=x-1\) jest zbiór: \(x\in\{-2,0\}\)
