RÓWNANIA Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 4
Rozwiąż równanie: \(|2x-6|=4\) korzystając z
definicji.
Rozwiązanie
Równanie rozwiążemy korzystając z definicji wartości bezwzględnej.
\(\small |x| = \left\{ \begin{array}{cl}
x & : \ x \geq 0 \\
-x & : \ x < 0
\end{array} \right.\)
Poniżej jak powinien wyglądać formalny zapis rozwiązania zadania korzystając z definicji
\(\wedge\) oznacza spójnik i \(\vee\) oznacza spójnik lub \(\Leftrightarrow\) oznacza spójnik: wtedy i tylko wtedy, gdy
\(|2x-6|=4 \;\; \Leftrightarrow\)
\([2x-6\ge 0\;\; \wedge \;\; 2x-6 =4]\)
\(\vee\) \([2x-6\lt 0 \;\; \wedge -(2x-6) = 4] \;\; \Leftrightarrow\)
\([2x\ge 6 \;\; \wedge \;\; 2x = 10]\)
\(\vee\) \([2x\lt 6 \;\; \wedge \;\;-2x+6 = 4] \;\; \Leftrightarrow\)
\([x\ge 3 \;\; \wedge \;\; x =5]\)
\(\vee\) \([x\lt 3 \;\; \wedge \;\;-2x = -2] \;\; \Leftrightarrow\)
\([x\ge 3 \;\; \wedge \;\; x =5]\)
\(\vee\) \([x\lt 3 \;\; \wedge \;\; x =1] \;\; \Leftrightarrow\)
Wyznaczamy części wspólne
\([x =5]\)
\(\vee\) \([x =1]\)
Nasze rozwiązanie
Interpretacja geometrycznej równania \(|2x-6|=4\)
\(|2\cdot(x-3)|=4\)
wyciągamy \(2\) przed nawias
\(|2|\cdot|(x-3)|=4\)
\(|x\cdot y|=|x|\cdot|y|\)
\(2\cdot|(x-3)|=4\;\;\;/:2\)
\( |2|=2\)
\(|(x-3)|=2\)
Rozwiązaniem równania w są x-sy oddalone od \(3\) o wartość równą \(2\)
Odpowiedź
Rozwiązaniem równana \(|2x-6|=4\) są liczby: \(5\) lub \(1\)
