RÓWNANIA Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ - ZADANIA
Zadanie 6
Rozwiąż równanie z wartością bezwzględną: \(|4x-8|=-4\)
Rozwiązanie A
\(|4x-8|=-4\)
Wartość bezwzględna nie może być ujemna (bo odległość nie może być liczba ujemną) więc równanie nie ma rozwiązania (równanie sprzeczne)
Rozwiązanie B
Spróbujmy rozwiązać równanie korzystając z twierdzenia
\( |w|=a \Leftrightarrow (w=a \; \vee \; w=-a) \)
ale w twierdzeniu musi zachodzić \(a\ge 0\) u nas \(a=(-4)\) zatem nie możemy skorzystać z twierdzenia
Rozwiązanie C
Spróbujmy rozwiążemy korzystając z definicji
\(\small |x| = \left\{ \begin{array}{cl}
x & : \ x \geq 0 \\
-x & : \ x < 0
\end{array} \right.\)
\(|4x-8|=-4\)
Przypadek pierwszy, sprawdzamy dla jakich x-ów wartość bezwzględna jest nieujemna:
\(4x-8\ge 0\)
\(4x\ge 8\)
\(x\ge 2\)
dla \(x\ge 2\) opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku
\(|4x-8|=4x-8\)
zatem równanie będzie miało postać
\(4x-8=-4\)
\(4x=4\)
\(x=1\)
Liczba \(x=1\) nie spełnia warunku \(x\ge 2\) czyli nie jest rozwiązaniem równania
Przypadek drugi, sprawdzamy dla jakich x-ów wartość bezwzględna jest ujemna:
\(4x-8\lt 0\)
\(4x\lt 8\)
\(x\lt 2\)
dla \(x\lt 2\) opuszczamy wartość bezwzględną ze zmiany znaku
\(|4x-8|=-(4x-8)=-4x+8\)
a nasze równanie będzie miało postać
\(-4x+8=-4\)
\(-4x=-12\)
\(x=3\)
Liczba \(x=3\) nie spełnia warunku \(x\lt2\) czyli nie jest rozwiązaniem równania
Odpowiedź
Równana \(|4x-8|=-4\) nie ma rozwiązania
