ILOCZYN SKALARNY WEKTORÓW - ZADANIA
Zadanie 2
Wyznacz miarę kąta \(\varphi\) między wektorami \(\vec{u} = [1, 0, 1]\) oraz \(\vec{v} = [0, 1, 1]\).
Rozwiązanie
Najpierw obliczamy iloczyn skalarny wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\):
\( \vec{u} \circ \vec{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 \)
Obliczamy długości obu wektorów:
\( |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
\( |\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
Wyznaczamy cosinus kąta \(\varphi\) ze wzoru na iloczyn skalarny:
\( \cos\varphi = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \)
Odczytujemy miarę kąta \(\varphi\) dla \(\cos\varphi = \frac{1}{2}\):
\( \varphi = 60^\circ \quad \text{lub } \quad \frac{\pi}{3} \text{ rad} \)
Odpowiedź
Kąt między wektorami wynosi \(\varphi = 60^\circ\).
